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1、求数列通项公式常用的七种方法的关系式然后两式作差最后别忘了检验a 1是否适合用上面的方法求出的通项.、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列b 为等差或等比数列，根据通项公式a = a +(n -1)d 或 a = a qn-1 进行求解. n 1n 1例1：已知匕是一个等差数列，且a = 1, a =-5，求L 的通项公式.n25n四、累加法：当数列 中有a - annn-1可以用这种方法.例 4： a = 0,a = a + 2(n -1)1n+1n=f(n),即第n项与第n-1项的差是个有“规律”的数时，就求通项 anI a + d = 1I a = 3分析：设数列勺的公差为d，贝%
2、1解得 1n+ 4d = -5d = -2a = a + (n 1站=2n + 5n1分析： a -a =2n-1n +1 na -a= 2n-3nn -1a - a =1 a - a = 3 a - a = 5213243(n 2)二、前n项和法：已知数列b 的前n项和s的解析式，求a .nnn以上各式相力口得a - a = 1 + 3 + 5 + 7 +(2n -3)= (n -1(n 2)n1又a = 0，所以a = (n一 1(n 2)，而a = 0也适合上式， 1na = (n -1)2(n g N *)n三、例2：已知数列的前n项和s = 2n -1，求通项a .nnn分析：当 n
3、 2 时，a = s s = (2n 3)- Cn t 3)= 2n-1n n n -1而a1 = s1 =-1不适合上式，二an一 1(n = 1)2 n-1 (n 2 )s与a的关系式法：已知数列(a 的前n项和s与通项a的关系式,n nnnn例3：已知数列% 的前n项和s满足annn+1分析： s = 3ann +1sn-1= 3an=3，其中管(n 2)- 得 a = 3a -3ann+1 n4a = 3ann +1五、累乘法：它与累加法类似，当数列匕中有上l = f (n)，即第n项与第n -1项的商是个有“规an-1律”的数时，就可以用这种方法.n C 2, n g N例 5： a
4、 = 1,a = a1 nn - 1n分析：a = an n - 1 n -1n-1求通项 ana4即一=a3n(n 2) 又 a2=3 a1不适合上式六、构造法：数列匕从第2项起是以4为公比的等比数列n3a = an2n-2(n 2)an1(n = 1)(n 2)注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”由s与a的关系式，类比出a 与sn nn -1n -1an=an -1n-1a a 2 3 4 n故 a = a 一 n = 1= nn 1 a a a a 12 3 n -1123n-1(n 2, n g N * )而珥=1也适合上式，所以an =乙G N*)、一次函数法：在数
5、列% 中有a = ka + b( k,b均为常数且k丰0)，从表面形式上来看a是nnn -1n关于J-】的“一次函数”的形式这时用下面的方法一般化方法：设 a + m = k (a + m)则 a = ka +(k - 1)m 而 a = ka + bnn-1nn-1nn-1b = (k 1)m 即 m =故 a += kk -1 n k -1( b ) a +=n-1k 1 丿二数列 an1 +占是以k为公比的等比数列借助它去求an七、“ a = ba + cm （ b,c为常数且不为0 , m,n e N* ）”型的数列求通项a . n +1nn例 6：已知 a = 1,a = 2a+1
6、C 2,n e N*) 求通项 a1nn -1n例9：设数列b 的前n项和为s，已知a = a,a = s + 3n,n e N*，求通项a . nn1n+1nn解：/ a = s + 3 nn +1 n.a =s +3n-1(n2)nn -1分析：a = 2a +1 a +1 = 2a + 2 = 2 (a +1)nn-1nn-1n-1两式相减得a -an +1n即 a = 2a + 2 3 n-1n +1n.数列a +1是以2为首项，2为公比的等比数列n上式两边同除以3n+1得/. a +1 = (a +1) 2n-1 = 2n n1a令c =寸得n 3n2c = cn +13 na3n+
7、12+92a2= n +3 3 n 9（这一步是关键）ka （ ）、取倒数法：这种方法适用于a = 丹 n 2,n e NJ （ k,m, p均为常数m丰0）， n ma + pn-12.c = n+133（n 2）（想想这步是怎么得来的）两边取倒数后得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于a = ka+ b的式子.nn 一1.数列c I从第2项起，是以c-3=a3为首项，以3为公比的等比数列2 393例7：已知冒2, an2an1 a + 2 n1 2, n e N*)求通项 ann-2n-22aa =nn a + 2n-1a + 211n-1 = + 2aa 2n-1n-111即一aan
8、n 1=2 (n %e N *).c=(a - 3)乂2=(a - 3)23n数列是以2为首项,3n3n，所以 a= (a - 3) 2n-2 + 2 3n-1以2为公差的等差数列/ a= a 不适合上式a(n = 1).a(a - 3) 2n-2 + 2 3n-1(n 2)11(J 1n=+ Jn 1 丿-= a222n2a =nn、取对数法：一般情况下适用于ak二alnn -1k,l 为非零常数）例 8：已知a = 3,a = a 2 (n 2)1 nn 1求通项an分析：由a = 3,a = a 2(n2)知a 0 /.在a = a 2的两边同取常用对数得1nn1nnn 1lga = l
9、ga 2 = 2lg a即= 2数列lga 是以lg3为首项，以2为公比的等比数列nn 1n1lg ann1注：求a = ba + cm （ b, c为常数且不为0, m, n e N *）”型的数列求通项公式的方法是等式的n +1n两边同除以cn+1，得到一个a = ka + b ”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”nn -1a便可求出f 的通式，从而求出a .另外本题还可以由a = s + 3n得到s -s = s + 3n即c nnn +1 nn +1 n ns = 2s + 3n，按照上面求a的方法同理可求出s ,再求a .您不不妨试一试.n +1nnnn除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结 到一块，以便于学生记忆和掌握.故 lg a = 2n 1 lg3 = lg3 2n1 n/. a = 32n-1n
