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1、2022版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第七讲 立体几何中的向量方法学案 新人教版2022版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第七讲 立体几何中的向量方法学案 新人教版年级：姓名：第七讲立体几何中的向量方法知识梳理双基自测知识点一两个重要的向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有_无数_个(2)平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有_无数_个，它们是共线向量知识点二空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n
2、1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面、的法向量分别为n、mnmnmnmnm0知识点三两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则cos|cos|_(其中为异面直线a，b所成的角)知识点四直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，向量e与n的夹角为，则有sin|cos|_.知识点五求二面角的大小(1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_，_.(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|co
3、s|_，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)知识点六利用空间向量求距离(1)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为d.(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解注意体积法在求点到平面距离时的应用1直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量2平面的法向量的确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为3若二面角ABCD的大小为，平面ABC内的直线l与平面BCD所成角为，则，当lBC时，取等号题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”
4、或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(6)若空间向最a平行于平面，则a所在直线与平面a平行()题组二走进教材2(必修2P111T3)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_垂直_.解析以A为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体的棱
5、长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，0，ON与AM垂直3(必修2P117A组T4)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是_.解析分别取AC、A1C1的中点D、D1，连接BD，D1D，易知D1D平面ABC，且BDAC，故以D为坐标原点，AC、DB、DD1所成的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系易知B，C1，设BC1与侧面ACC1A1所成的角为，平面ACC1A1的一个法向量为n(0,1,0)，sin ，.题组三走向高考4(2020新高考)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影
6、子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为(B)A20B40C50D90解析由题意作出如图所示的截面图，设所求角为，由图易知40，故选B5(2019浙江)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值解析解法一：(1)证明：连接A1E，因为A
7、1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC，又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC，则A1EBC又因为A1FAB，ABC90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC(2)取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形由(1)得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角，不妨设AC4，则在RtA1EG中，A1E2，EG.由于O
8、为A1G的中点，故EOOG，所以cosEOG.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.解法二：(1)证明：连接A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以，A1E平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设AC4.则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)因此，(，1,0)由0得EF BC(2)设直线EF与平面A1BC所成角为.由(1)可得(，1,0)，(0,2，2)设平面A1BC的法向量为n
9、(x，y，z)由得取n(1，1)，故sin |cos，n|.因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为.考点突破互动探究考点一利用向量证明空间的平行与垂直自主练透例1 (2020山东青岛胶州实验学校期中)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ABCD，ABBC，AB2，PAPDCDBC1，平面PAD平面ABCD，E为AD的中点(1)求证：PABD；(2)在线段AB上是否存在一点G，使得直线BC平面PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由解析取BA的中点H，连EH，在梯形ABCD中，由题意易知EHAD，PAPD，E为AD的中点，PEAD，又平面PAD平面ABCD，PE平
10、面ABCD，PEEH，PEAD，AE、EH、EP两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则P，A，B，D，E(0,0,0)，C.(1)，(0，0)，00()00，即PABD(2)设线段AB上存在点G满足条件，则(，0)(01)，(，0).且mn，即，解得.存在点G，当AGAB时，BC平面PEG.注：本题也可用几何法求解，或求平面PEG的法向量n，利用n0nBC平面PEG判断解答名师点拨(1)建立空间直角坐标时尽可能地利用图形中的垂直关系，要准确写出相关点的坐标，进而确定向量的坐标(2)用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直
11、证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行证明两平面的法向量平行(即为共线向量)转化为线面平行、线线平行问题(3)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直变式训练1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1
12、的中点(1)求证：平面A1B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD证明以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)设BAa，则A(a,0,0)，G，A1(a，0,4)(1)因为(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，所以0，0.所以，即B1DBA，B1DBD又BABDB，所以B1D平面ABD因为B1D平面A1B1D，所以平面A1B1D平面ABD(2)证法一：因为，(0,1,1)，(0,2，2)，所以0，0.所以B1DEG，B1DEF.因为
13、EGEFE，所以B1D平面EGF.又由(1)知B1D平面ABD，所以平面EGF平面ABD证法二：，又GF平面ABD，AB平面ABD，GF平面ABD，同理EF平面ABD，又GFEFF，GF平面EGF，EF平面EGF，平面EGF平面ABD考点二利用向量求空间的角多维探究角度1向量法求异面直线所成的角例2 (2020豫南豫北精英对抗赛)在四面体ABCD中，CACBCDBD2，ABAD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(B)ABCD解析取BD的中点O，连AO，OC，由CACBCDBD2，ABAD，得AOBD，COBD，且OC，AO1.在AOC中，AC2AO2OC2，故AOOC，又知BDOCO，因此AO平面BCD，以OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，(1,0，1)，(1，0)，设异面直线AB与CD所成角为，则cos ，即异面直线AB与CD所
