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1、由一个等差数列问题的变题引发的探讨 倪红林(江苏省启东市汇龙中学高中部 226200)某次复习课讲到这样一个问题：问题 已知数列an的首项a1=，前n项和为Sn，且满足an= SnSn1（n2）nN*。求证：数列成等差数列证明：因为当n2时，an=SnSn1，又an= SnSn1（n2）nN*所以(SnSn1)=SnSn1,故，即（n2， nN*）故成等差数列，首项为，公差为。到此为止，问题已经基本解决，考察其变题：变题1：求上述问题中数列an的通项。解：由上述证明知，所以Sn （此时大家没有在意），从而an 这里强调an与Sn的关系，注意当n时不适合，必须写成分段的形式。但此时部分学生发现问
2、题了，学生提出“an的分母怎么为零呢”？当n时an的分母为零了，再一看，此时Sn的分母也为零了。题目是有问题了，此时我并没有继续讲解下一例，而是和学生一起探讨原因。（提问）是解答错误吗？原因是在等式的两边同除以SnSn1使得分母为零了吗？不是，补充理由：若存在Sn=0，则由(SnSn1)=SnSn1得Sn=0，类似可得a1=S1=0与a1=矛盾，因而Sn0，所以解答没有问题。（提问）还会是什么原因呢？ 我们从求an开始查找，当n时，a1=；当n时，得a= SS1所以a=(a1a)a1=4a，故=，矛盾。这时清楚了，原来题目条件an= Sn Sn1在a1=的条件下对nN*不恒成立，所以出现矛盾。
3、（提问）那么，怎样修改条件an= SnSn1才能消除矛盾呢？变题2：将问题中条件an= SnSn1改为an=SnSn1， 证明（略）继续提问：若变题1中条件an= SnSn1不变，只改变a1=呢？如a1=，题目正确吗？解：当n时，a1=；当n时，a= SS1得a=；当n=时，a=SS得a=（1+1+a）（1+1），故=，矛盾。这说明将a1=改为a1=仍不成立。（提问）将a1=改为a1=3呢？变题3：将变题1中条件a1=改为a1=3仿上求an都成立解：（1）当n2时，an=SnSn1，又an= SnSn1（n2，nN*） ，故(SnSn1)=SnSn1。若存在Sn=0，则Sn=0，类似可得a1=
4、S1=0与a1=3矛盾，所以Sn0，从而（n2，nN*），故 成等差数列，首项为，公差为。（2）由（1）知，所以当n2时，an=SnSn1=，又当n=1时，a1=3所以 （提问）那么a1到底取什么值才正确呢？变题4 已知数列an的首项为a1，前n项和为Sn，且满足an= SnSn1（n2，nN*），求使数列成等差数列的a1的取值范围。解：当n2时，an=SnSn1，又an= SnSn1（n2，nN*）所以(SnSn1)=SnSn1因为成等差数列，所以Sn0，故（n2，nN*）从而，即，所以Sn =。 由Sn0，得所以a10，且a1（n2且nN*）因此，a1的取值范围为 a1|a10且a1，n2
5、且nN*由此可见，当a1=2时，题目不成立；当a1=3时；题目成立。为了巩固课堂教学，课后作业补充思考题：已知f(x)=x|x-4|+2x-3，数列an满足a n+1=（nN*），试探求a1的值，使an成等差数列。遇到错题是数学教学中的一个常见现象，如果只知道错了而不知道错在哪儿和为什么错，势必对学生顺利完成整个学业过程带来干扰，影响学习能力提高，在教学过程中，教师要敢于承担错误，把错误当作宝贵的教学资源，引导学生对错题进行反思变换，减少解题失误，提高学生学习的信心和兴致。教学上的着力点应放在导上，通过启发引导，培养学生发现问题，归纳问题的能力，让学生体现成功的喜悦，提高教学效率。倪红林，中学数学月刊2010年01期P38-39
