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1、由一个等差数列问题的变题引发的探讨 倪红林(江苏省启东市汇龙中学高中部 226200)某次复习课讲到这样一个问题:问题 已知数列an的首项a1=,前n项和为Sn,且满足an= SnSn1(n2)nN*。求证:数列成等差数列证明:因为当n2时,an=SnSn1,又an= SnSn1(n2)nN*所以(SnSn1)=SnSn1,故,即(n2, nN*)故成等差数列,首项为,公差为。到此为止,问题已经基本解决,考察其变题:变题1:求上述问题中数列an的通项。解:由上述证明知,所以Sn (此时大家没有在意),从而an 这里强调an与Sn的关系,注意当n时不适合,必须写成分段的形式。但此时部分学生发现问
2、题了,学生提出“an的分母怎么为零呢”?当n时an的分母为零了,再一看,此时Sn的分母也为零了。题目是有问题了,此时我并没有继续讲解下一例,而是和学生一起探讨原因。(提问)是解答错误吗?原因是在等式的两边同除以SnSn1使得分母为零了吗?不是,补充理由:若存在Sn=0,则由(SnSn1)=SnSn1得Sn=0,类似可得a1=S1=0与a1=矛盾,因而Sn0,所以解答没有问题。(提问)还会是什么原因呢? 我们从求an开始查找,当n时,a1=;当n时,得a= SS1所以a=(a1a)a1=4a,故=,矛盾。这时清楚了,原来题目条件an= Sn Sn1在a1=的条件下对nN*不恒成立,所以出现矛盾。
3、(提问)那么,怎样修改条件an= SnSn1才能消除矛盾呢?变题2:将问题中条件an= SnSn1改为an=SnSn1, 证明(略)继续提问:若变题1中条件an= SnSn1不变,只改变a1=呢?如a1=,题目正确吗?解:当n时,a1=;当n时,a= SS1得a=;当n=时,a=SS得a=(1+1+a)(1+1),故=,矛盾。这说明将a1=改为a1=仍不成立。(提问)将a1=改为a1=3呢?变题3:将变题1中条件a1=改为a1=3仿上求an都成立解:(1)当n2时,an=SnSn1,又an= SnSn1(n2,nN*) ,故(SnSn1)=SnSn1。若存在Sn=0,则Sn=0,类似可得a1=
4、S1=0与a1=3矛盾,所以Sn0,从而(n2,nN*),故 成等差数列,首项为,公差为。(2)由(1)知,所以当n2时,an=SnSn1=,又当n=1时,a1=3所以 (提问)那么a1到底取什么值才正确呢?变题4 已知数列an的首项为a1,前n项和为Sn,且满足an= SnSn1(n2,nN*),求使数列成等差数列的a1的取值范围。解:当n2时,an=SnSn1,又an= SnSn1(n2,nN*)所以(SnSn1)=SnSn1因为成等差数列,所以Sn0,故(n2,nN*)从而,即,所以Sn =。 由Sn0,得所以a10,且a1(n2且nN*)因此,a1的取值范围为 a1|a10且a1,n2
5、且nN*由此可见,当a1=2时,题目不成立;当a1=3时;题目成立。为了巩固课堂教学,课后作业补充思考题:已知f(x)=x|x-4|+2x-3,数列an满足a n+1=(nN*),试探求a1的值,使an成等差数列。遇到错题是数学教学中的一个常见现象,如果只知道错了而不知道错在哪儿和为什么错,势必对学生顺利完成整个学业过程带来干扰,影响学习能力提高,在教学过程中,教师要敢于承担错误,把错误当作宝贵的教学资源,引导学生对错题进行反思变换,减少解题失误,提高学生学习的信心和兴致。教学上的着力点应放在导上,通过启发引导,培养学生发现问题,归纳问题的能力,让学生体现成功的喜悦,提高教学效率。倪红林,中学数学月刊2010年01期P38-39