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1、磁场第一部分 基本知识介绍磁场部分在奥赛考纲中的考点很少，和高考要求的区别不是很大，只是在两处有深化：a、电流的磁场引进定量计算；b、对带电粒子在复合场中的运动进行了更深入的分析。一、磁场与安培力1、磁场a、永磁体、电流磁场磁现象的电本质b、磁感强度、磁通量c、稳恒电流的磁场*毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart law）：对于电流强度为I 、长度为dI的导体元段，在距离为r的点激发的“元磁感应强度”为dB 。矢量式d= k，（d表示导体元段的方向沿电流的方向、为导体元段到考查点的方向矢量）；或用大小关系式dB = k结合安培定则寻求方向亦可。其中 k = 1.0107N/A2 。应用毕萨
2、定律再结合矢量叠加原理，可以求解任何形状导线在任何位置激发的磁感强度。毕萨定律应用在“无限长”直导线的结论：B = 2k ；*毕萨定律应用在环形电流垂直中心轴线上的结论：B = 2kI ；*毕萨定律应用在“无限长”螺线管内部的结论：B = 2knI 。其中n为单位长度螺线管的匝数。2、安培力a、对直导体，矢量式为 = I；或表达为大小关系式 F = BILsin再结合“左手定则”解决方向问题（为B与L的夹角）。b、弯曲导体的安培力整体合力折线导体所受安培力的合力等于连接始末端连线导体（电流不变）的的安培力。证明：参照图9-1，令MN段导体的安培力F1与NO段导体的安培力F2的合力为F，则F的大
3、小为F = = BI = BI关于F的方向，由于FF2PMNO，可以证明图9-1中的两个灰色三角形相似，这也就证明了F是垂直MO的，再由于PMO是等腰三角形（这个证明很容易），故F在MO上的垂足就是MO的中点了。证毕。由于连续弯曲的导体可以看成是无穷多元段直线导体的折合，所以，关于折线导体整体合力的结论也适用于弯曲导体。（说明：这个结论只适用于匀强磁场。）导体的内张力弯曲导体在平衡或加速的情形下，均会出现内张力，具体分析时，可将导体在被考查点切断，再将被切断的某一部分隔离，列平衡方程或动力学方程求解。c、匀强磁场对线圈的转矩如图9-2所示，当一个矩形线圈（线圈面积为S、通以恒定电流I）放入匀强
4、磁场中，且磁场B的方向平行线圈平面时，线圈受安培力将转动（并自动选择垂直B的中心轴OO，因为质心无加速度），此瞬时的力矩为M = BIS几种情形的讨论增加匝数至N ，则 M = NBIS ；转轴平移，结论不变（证明从略）；线圈形状改变，结论不变（证明从略）；*磁场平行线圈平面相对原磁场方向旋转角，则M = BIScos ，如图9-3；证明：当 = 90时，显然M = 0 ，而磁场是可以分解的，只有垂直转轴的的分量Bcos才能产生力矩磁场B垂直OO轴相对线圈平面旋转角，则M = BIScos ，如图9-4。证明：当 = 90时，显然M = 0 ，而磁场是可以分解的，只有平行线圈平面的的分量Bco
5、s才能产生力矩说明：在默认的情况下，讨论线圈的转矩时，认为线圈的转轴垂直磁场。如果没有人为设定，而是让安培力自行选定转轴，这时的力矩称为力偶矩。二、洛仑兹力1、概念与规律a、 = q，或展开为f = qvBsin再结合左、右手定则确定方向（其中为与的夹角）。安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现。b、能量性质由于总垂直与确定的平面，故总垂直 ，只能起到改变速度方向的作用。结论：洛仑兹力可对带电粒子形成冲量，却不可能做功。或：洛仑兹力可使带电粒子的动量发生改变却不能使其动能发生改变。问题：安培力可以做功，为什么洛仑兹力不能做功？解说：应该注意“安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现”这句
6、话的确切含义“宏观体现”和“完全相等”是有区别的。我们可以分两种情形看这个问题：（1）导体静止时，所有粒子的洛仑兹力的合力等于安培力（这个证明从略）；（2）导体运动时，粒子参与的是沿导体棒的运动v1和导体运动v2的合运动，其合速度为v ，这时的洛仑兹力f垂直v而安培力垂直导体棒，它们是不可能相等的，只能说安培力是洛仑兹力的分力f1 = qv1B的合力（见图9-5）。很显然，f1的合力（安培力）做正功，而f不做功（或者说f1的正功和f2的负功的代数和为零）。（事实上，由于电子定向移动速率v1在105m/s数量级，而v2一般都在102m/s数量级以上，致使f1只是f的一个极小分量。）如果从能量的角
7、度看这个问题，当导体棒放在光滑的导轨上时（参看图9-6），导体棒必获得动能，这个动能是怎么转化来的呢？若先将导体棒卡住，回路中形成稳恒的电流，电流的功转化为回路的焦耳热。而将导体棒释放后，导体棒受安培力加速，将形成感应电动势（反电动势）。动力学分析可知，导体棒的最后稳定状态是匀速运动（感应电动势等于电源电动势，回路电流为零）。由于达到稳定速度前的回路电流是逐渐减小的，故在相同时间内发的焦耳热将比导体棒被卡住时少。所以，导体棒动能的增加是以回路焦耳热的减少为代价的。2、仅受洛仑兹力的带电粒子运动a、时，匀速圆周运动，半径r = ，周期T = b、与成一般夹角时，做等螺距螺旋运动，半径r = ，螺
8、距d = 这个结论的证明一般是将分解（过程从略）。但也有一个问题，如果将分解（成垂直速度分量B2和平行速度分量B1 ，如图9-7所示），粒子的运动情形似乎就不一样了在垂直B2的平面内做圆周运动？其实，在图9-7中，B1平行v只是一种暂时的现象，一旦受B2的洛仑兹力作用，v改变方向后就不再平行B1了。当B1施加了洛仑兹力后，粒子的“圆周运动”就无法达成了。（而在分解v的处理中，这种局面是不会出现的。）3、磁聚焦a、结构：见图9-8，K和G分别为阴极和控制极，A为阳极加共轴限制膜片，螺线管提供匀强磁场。b、原理：由于控制极和共轴膜片的存在，电子进磁场的发散角极小，即速度和磁场的夹角极小，各粒子做螺
9、旋运动时可以认为螺距彼此相等（半径可以不等），故所有粒子会“聚焦”在荧光屏上的P点。4、回旋加速器a、结构&原理（注意加速时间应忽略）b、磁场与交变电场频率的关系因回旋周期T和交变电场周期T必相等，故 =c、最大速度 vmax = = 2Rf5、质谱仪速度选择器&粒子圆周运动，和高考要求相同。第二部分 典型例题介绍一、磁场与安培力的计算【例题1】两根无限长的平行直导线a、b相距40cm，通过电流的大小都是3.0A，方向相反。试求位于两根导线之间且在两导线所在平面内的、与a导线相距10cm的P点的磁感强度。【例题2】半径为R ，通有电流I的圆形线圈，放在磁感强度大小为B 、方向垂直线圈平面的匀强
10、磁场中，求由于安培力而引起的线圈内张力。思考如果圆环的电流是由于环上的带正电物质顺时针旋转而成（磁场仍然是进去的），且已知单位长度的电量为、环的角速度、环的总质量为M ，其它条件不变，再求环的内张力。【例题3】如图9-11所示，半径为R的圆形线圈共N匝，处在方向竖直的、磁感强度为B的匀强磁场中，线圈可绕其水平直径（绝缘）轴OO转动。一个质量为m的重物挂在线圈下部，当线圈通以恒定电流I后，求其静止时线圈平面和磁场方向的夹角。二、带电粒子在电磁复合场中的运动一般考虑两种典型的复合情形：B和E平行，B和E垂直。对于前一种情形，如果v0和B（E）成角，可以将v0分解为v0和v0n ，则在n方向粒子做匀
11、速圆周运动，在方向粒子做匀加速运动。所以，粒子的合运动是螺距递增（或递减）的螺线运动。对于后一种情形（垂直复合场），难度较大，必须起用动力学工具和能量（动量）工具共同求解。一般结论是，当v0和B垂直而和E成一般夹角时，粒子的轨迹是摆线（的周期性衔接）。【例题4】在三维直角坐标中，沿+z方向有磁感强度为B的匀强磁场，沿z方向有电场强度为E的匀强电场。在原点O有一质量为m 、电量为q的粒子（不计重力）以正x方向、大小为v的初速度发射。试求粒子再过z轴的坐标与时间。【例题5】在相互垂直的匀强电、磁场中，E、B值已知，一个质量为m 、电量为+q的带电微粒（重力不计）无初速地释放，试定量寻求该粒子的运动
12、规律。第16届复赛三、（25分）用直径为的超导材料制成的导线做成一个半径为的圆环。圆环处于超导状态，环内电流为。经过一年，经检测发现，圆环内电流的变化量小于。试估算该超导材料电阻率数量级的上限。 提示：半径为的圆环中通以电流后,圆环中心的磁感应强度为 ,式中、各量均用国际单位，。三、参考解答根据题中所给的条件，当圆环内通过电流时，圆环中心的磁感应强度 穿过圆环的磁通量可近似为 （1）根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小 （2）圆环的电阻 （3）根据题设条件 ，,代入（3）式得 （4）由电阻与电阻率、导线截面积、长度的关系 及已知导线的直径，环半径，得电阻率 （5）第17届复赛
13、五、（25分）在真空中建立一坐标系，以水平向右为轴正方向，竖直向下为轴正方向，轴垂直纸面向里（图复17-5）在的区域内有匀强磁场，磁场的磁感强度的方向沿轴的正方向，其大小今把一荷质比的带正电质点在，处静止释放，将带电质点过原点的时刻定为时刻，求带电质点在磁场中任一时刻的位置坐标并求它刚离开磁场时的位置和速度取重力加速度。五、参考解答解法一：带电质点静止释放时，受重力作用做自由落体运动，当它到达坐标原点时，速度为 （1）方向竖直向下带电质点进入磁场后，除受重力作用外，还受到洛伦兹力作用，质点速度的大小和方向都将变化，洛伦兹力的大小和方向亦随之变化我们可以设想，在带电质点到达原点时，给质点附加上沿轴正方向和负方向两个大小都是的初速度，由于这两个方向相反的速度的合速度为零，因而不影响带电质点以后的运动在时刻，带电质点因具有沿轴正方向的初速度而受洛伦兹力的作用。 （2）其方向与重力的方向相反适当选择的大小，使等于重力，即 （3） (4)只要带电质点保持（4）式决定的沿轴正方向运动，与重力的合力永远等于零但此时，位于坐标原点的带电质点还具有竖直向下的速度和沿轴负方向的速度，二者的合成速度大小为 （5）方向指向左下方，设它与轴的负方向的夹角为，如图复解17-5-1所示，则
