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1、多元函数的黑赛矩阵分析法2.1 n元函数的泰勒展开式(二阶情况)根据多元函数的二阶泰勒展开式,可知其中 2.2 多元函数极值的必要条件 若函数在点存在偏导数,且在取得极值,则有其偏导数组成的向量 为零向量,点称为稳定点。证 略2.3 多元函数极值的充分条件 设多元函数在点的某邻域内内具有二阶连续偏导数,且是的稳定点。则当是正定矩阵时,在取得极小值;当是负定矩阵时,在取得极大值;当是不定矩阵时,在不取极值。证 由在的二阶泰勒公式,并注意到,有 因为正定,所以对任意,恒有二次型 ,因为其中因为是内的元连续函数,且恒大于零,根据连续函数的性质,存在一个确定的,使得,即有,而的二阶泰勒余项为的高阶无穷
2、小量,故存在点的某邻域使得,即有恒成立。故可证点为多元函数的极小值点。而当为不定时,在不取极值,以二元函数为例,当取得极值时(例如取得极大值),则沿任何过的直线在亦取得极大值。有一元函数取极值的充分条件,是不可能的(否则在将取得极小值),故。而 这表明必须是负半定。同理,倘若取极小值,则将导致必为正半定。也就是说,当在取得极值时,必须是正半定或负半定矩阵,但这与假设相矛盾。1 华东师范大学数学系数学分析 下册(第三版)M北京:高等教育出版社,2001(2008重印):137方便起见,以下复述矩阵正(负)定的判别法:2 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数(第三版)M北京:高等教育出版社,2003.9(2008重印):226-232实二次型矩阵是正(负)定的充要条件是矩阵的顺序主子式全大于(小于)零;实二次型矩阵是半正(负)定的充要条件是矩阵的所有主子式皆大于或等于(小于或等于)零;一个注意要点 多元函数的黑赛矩阵不是正(负)定并不意味着不取极值,即正(负)定仅为充分条件,而非必要条件。如二元函数,易知在上有极小值0,且有,在上为稳定点。但有,即黑赛矩阵为半正定的。但这不影响函数在在上取极小值。应用举例 求函数的极值解 求得一阶偏导数为,易知时有偏导数为零向量,代入二阶黑赛矩阵可知其为正定阵,为极小值点。