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1、多元函数的黑赛矩阵分析法2.1 n元函数的泰勒展开式（二阶情况）根据多元函数的二阶泰勒展开式，可知其中 2.2 多元函数极值的必要条件 若函数在点存在偏导数，且在取得极值，则有其偏导数组成的向量 为零向量，点称为稳定点。证 略2.3 多元函数极值的充分条件 设多元函数在点的某邻域内内具有二阶连续偏导数，且是的稳定点。则当是正定矩阵时，在取得极小值；当是负定矩阵时，在取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值。证 由在的二阶泰勒公式，并注意到，有 因为正定，所以对任意，恒有二次型 ，因为其中因为是内的元连续函数，且恒大于零，根据连续函数的性质，存在一个确定的，使得，即有，而的二阶泰勒余项为的高阶无穷
2、小量，故存在点的某邻域使得，即有恒成立。故可证点为多元函数的极小值点。而当为不定时，在不取极值，以二元函数为例，当取得极值时（例如取得极大值），则沿任何过的直线在亦取得极大值。有一元函数取极值的充分条件，是不可能的（否则在将取得极小值），故。而 这表明必须是负半定。同理，倘若取极小值，则将导致必为正半定。也就是说，当在取得极值时，必须是正半定或负半定矩阵，但这与假设相矛盾。1 华东师范大学数学系数学分析 下册（第三版）M北京：高等教育出版社，2001（2008重印）：137方便起见，以下复述矩阵正（负）定的判别法：2 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数（第三版）M北京：高等教育出版社，2003.9（2008重印）:226-232实二次型矩阵是正（负）定的充要条件是矩阵的顺序主子式全大于（小于）零；实二次型矩阵是半正（负）定的充要条件是矩阵的所有主子式皆大于或等于（小于或等于）零；一个注意要点 多元函数的黑赛矩阵不是正(负）定并不意味着不取极值，即正（负）定仅为充分条件，而非必要条件。如二元函数，易知在上有极小值0，且有，在上为稳定点。但有，即黑赛矩阵为半正定的。但这不影响函数在在上取极小值。应用举例 求函数的极值解 求得一阶偏导数为，易知时有偏导数为零向量，代入二阶黑赛矩阵可知其为正定阵，为极小值点。
