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1、屈婉玲版失散数学课后习题答案【4】第十章部分课后习题参照答案4判断以下会合对所给的二元运算能否关闭：（1）整数会合Z和一般的减法运算。关闭,不知足互换律和联合律，无零元和单位元（ 2）非零整数会合一般的除法运算。不关闭（ 3）全体nn实矩阵会合（R）和矩阵加法及乘法运算，此中n2。关闭均知足互换律，联合律，乘法对加法知足分派律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体nn实可逆矩阵会合对于矩阵加法及乘法运算，此中n2。不关闭（5）正实数会合和运算，此中运算定义为：不关闭由于1111111R（ 6）n对于一般的加法和乘法运算。关闭，均知足互换律，联合律，乘法对加
2、法知足分派律加法单位元是0，无零元；乘法无单位元（n1），零元是0；n1单位元是1（ 7）A=a1,a2,ann运算定义以下：关闭不知足互换律，知足联合律，（ 8）S=对于一般的加法和乘法运算。关闭均知足互换律，联合律，乘法对加法知足分派律（ 9）S=0,1,S是对于一般的加法和乘法运算。加法不关闭，乘法关闭；乘法知足互换律，联合律（ 10）S=,S对于一般的加法和乘法运算。加法不关闭，乘法关闭，乘法知足互换律，联合律5对于上题中关闭的二元运算判断能否合适互换律，联合律，分派律。见上题/7设*为Z上的二元运算x,yZ，X*Y=min(x，y),即x和y之中较小的数.(1) 求4*6，7*3。4
3、,3(2)*在Z上能否合适互换律，联合律，和幂等律？知足互换律，联合律，和幂等律(3) 求*运算的单位元，零元及Z中全部可逆元素的逆元。单位元无，零元1,全部元素无逆元8SQQQ为有理数集，*为S上的二元运算，,S*=有（1）*运算在S上能否可互换，可联合？能否为幂等的？不行互换：*=*可联合：(*)*=*=*(*)=*=(*)*=*(*)不是幂等的（2）*运算能否有单位元，零元？假如有请指出，并求S中全部可逆元素的逆元。设是单位元，S，*=*=则=，解的=，即为单位。设是零元，S，*=*=则=，无解。即无零元。S，设是它的逆元*=*=a=1/x,b=-y/x因此当x0时，x,y11,yxx1
4、0令S=a，b，S上有四个运算：*，分别有表确立。(a)(b)(c)(d)(1) 这4个运算中哪些运算知足互换律，联合律，幂等律？(a)互换律，联合律，幂等律都知足，零元为a,没有单位元；(b) 知足互换律和联合律，不知足幂等律，单位元为a,没有零元a1a,b1b(c) 知足互换律,不知足幂等律,不知足联合律a(bb)aab,(ab)babaa(bb)(ab)b没有单位元,没有零元(d) 不知足互换律，知足联合律和幂等律没有单位元,没有零元(2) 求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16设V=N，+，此中+，分别代表一般加法与乘法，对下边给定的每个会合确立它能否组成V的子代数
5、，为何？（1）S1=是（2）S2=不是加法不关闭（3）S3=-1，0，1不是，加法不关闭第十一章部分课后习题参照答案8. 设S=0，1，2，3，为模4乘法，即 x,yS,xy=(xy)mod4问S，能否组成群？为何？解：(1)x,yS,xy=(xy)mod4S,是S上的代数运算。(2)x,y,zS,设xy=4k+r0r3(xy)z=(xy)mod4)z=rz=(rz)mod4=(4kz+rz)mod4=(4k+r)z)mod4=(xyz)mod4同理x(yz)=(xyz)mod4因此，(xy)z=x(yz)，联合律建立。(3)xS,(x1)=(1x)=x,，因此1是单位元。(4)111,313
6、,0和2没有逆元因此，S，不组成群9. 设Z为整数会合，在Z上定义二元运算。以下：x,yZ,xoy=x+y-2问Z对于o运算可否组成群？为何？解：(1)x,yZ,xoy=x+y-2Z,o是Z上的代数运算。(2) x,y,zZ,(xoy)oz=(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4同理(xoy)oz=xo(yoz)，联合律建立。(3) 设e是单位元，xZ,xoe=eox=x,即x+e-2=e+x-2=x,e=2(4) xZ,设x的逆元是y,xoy=yox=e,即x+y-2=y+x-2=2,因此，x1y4x因此Z，o组成群1010101011.设G=1,0,0，证明G对于矩阵乘
7、法组成一个群00111解：(1)x,yG,易知xyG,乘法是Z上的代数运算。(2) 矩阵乘法知足联合律(3) 设10是单位元，0 1(4) 每个矩阵的逆元都是自己。因此G对于矩阵乘法组成一个群14. 设G为群，且存在aG,使得G=akkZ证明：G是互换群。证明:x,yG，设xak,yal，则xyakalaklalkalakyx因此，G是互换群17. 设G为群，证明e为G中独一的幂等元。证明:设0也是幂等元，则e2e2ee，由消去律知ee0，即eeG000018. 设G为群，a,b,cG,证明 abc=bca=cab证明：先证设(abc)ke(bca)ke设(abc)ke,则(abc)(abc)
8、(abc)(abc)e，即a(bca)(bca)(bca)(bca)a1e左侧同乘a1，右侧同乘a得(bca)(bca)(bca)(bca)(bac)ka1eae反过来，设(bac)ke,则(abc)ke.由元素阶的定义知，abc=bca，同理bca=cab19.证明：偶数阶群G必含2阶元。证明：设群G不含2阶元，aG，当ae时，阶元,由于群G时有限阶的，因此a是有限阶的，设a是一阶元，当ae时，a起码是31a是k阶的,则a也是k阶的，因此高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含独一的1阶元e,这与群G是偶数阶的矛盾。因此，偶数阶群G必含2阶元20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a
9、和b,ab,且ab=ba.证明：先证明G含起码含3阶元。若G只含1阶元,则G=e,G为Abel群矛盾；若G除了1阶元e外,其他元a均为2阶元，则a2e，a1aa,bG,a1a,b1b,(ab)1ab,因此aba1b1(ba)1ba，与G为Abel群矛盾；因此，G含起码含一个3阶元，设为a，则，且a2aaa2。令ba2的证。21. 设G是Mn(R)上的加法群，n2，判断下述子集能否组成子群。（1）全体对称矩阵是子群（2）全体对角矩阵是子群（ 3）全体队列式大于等于0的矩阵.不是子群（ 4）全体上（下）三角矩阵。是子群22. 设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可互换的元素
10、组成的会合，即N（a）=xxGxa=ax证明N（a）组成G的子群。证明：ea=ae,eN(a)x,yN(a),则axxa,ayyaa(xy)(ax)y(xa)yx(ay)x(ya)(xy)a,因此xyN(a)由axxa，得x1axx1x1xax1,x1aeeax1，即x1aax1，因此x1N(a)因此N（a）组成G的子群31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明12是G1到G3的同态。证明：有已知1是G1到G2的函数，2是G2到G3的函数，则12是G1到G3的函数。a,bG1,(12)(ab)2(1(ab)2(1(a)1(b)(2(1(a)(2(1(b)(12)(a)(12)(b)因此:12是G1到G3的同态。33. 证明循环群必定是阿贝尔群，说明阿贝尔群能否必定为循环群，并证明你的结论。证明：设G是循环群,令G=,x,yG,令xak,yal,那么xyakalakl
