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1、学号2009311010152编号 2013110152 研究类型 应用研究 分类号 O122CollegeOfArts And Science Of HubeiNormalUniversity学士学位论文Bachelor s Thesis论文题目浅析微积分在中学数学中的应用作者 XX指导老师傅朝金所在院系数学系专业名称数学与应用数学完成时间20XX5月XX师X学院文理学院学士学位论文诚信承诺书中文题目：浅析微积分在中学数学中的应用外文题目：Application of calculus in mathematics teaching inmiddle school学生XX学生学号200931
2、1010152院系专业数学系数学与应用数学学生班级0901 班学生承诺我承诺在毕业论文设计活动中遵守学校有关规定，恪守学术 规X,本人毕业论文设计内容除特别注明和引用外，均为本人观点， 不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况 .如有违 规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理.学生签名：年 月日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文设计活动中遵守学校有关规定， 恪守学术规X,经过本人核查，该生毕业论文设计内容除特别注明 和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪 造、篡改实验数据的现象.指导教师签名：1. 引言 12. 中学微积分的基本数学思想方法22.1 “极
3、限思想22.2 化归思想 42.3 微积分中的哲学与辩证的思想52.4 函数思想 1 52.5 数形结合思想63. 微积分在中学数学中的应用 63.1 关于函数的单调性63.2 求函数的极值、最大值与最小值73.3 函数的变化性态与作图 83.4 微积分在解方程中的应用 103.5 不等式的证明113.6 恒等式的证明113.7 曲线的切线与求法124. 结语 135. 参考文献 14罗导师：傅朝金教授XX师X学院文理学院数学系中国XX 435002摘 要：微积分是大学数学必修的基础课程，它的基本理论对中学数学有着重要的指导 作用.微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用，与中学数学联系非常紧
4、密.对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、 数形结合思想等都有不同程度的涉与.在讨论在函数的单调性、求函数的极值和 最值、函数的变化性态与作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证 明、曲线的切线与求法时，使用微积分的方法，能起到以简驭繁的作用，以进一 步体现微积分与中学数学的联系.关键词：微积分；函数性态；思想方法 中国图书分类号：O122Application of calculus in mathematics teaching in middle schoolLuo Fang (Tulor: Fu ChaojinProfessor)(Hubei
5、Normal University College of Arts and Sciences,Department of mathematics,ChinaHuangshi 435002)Abstract: Calculus is a compulsory basic course of university mathematics, its basic theory plays an important role in middle school mathematics. Way of thinking in calculus and basic theory has been widely
6、 used, very close contact with the middle school mathematics. Mathematics to calculus ideas, such as the ultimate thinking, dialectical philosophy thought, the idea of function, number form combining thought have got different involved. In the discussion on monotonicity of function, and the extreme
7、values of a function, function changes of behavior and mapping, in the application of calculus equation, inequality and identities, tangent to the curve and calculating method, methods use the calculus, can play the role of deduce simplicity into complexity, to further reflect the calculus with the
8、middle school mathematics.Keywords: Calculus; Functional properties; Thinking method罗导师：傅朝金教授XX师X学院文理学院数学系 中国XX 4350021 .引言21世纪高科技高速发展，数学是高科技发展的基础，世界各国都非常重视数学在各 个领域的运用.我们广大教师，无论从事初等教育还是高等教育，一个重要目标就是培 养满足社会需要的人才.相应地，数学教育的目的不仅要使学生掌握基本的数学知识与 技巧，更加重视发展学生的能力.因此，如何培养学生数学的思维能力和思想方法，做 到学数学、用数学，养成勤于思考，用“数学思维
9、去分析问题、解决问题的良好习惯， 全面提高学生的数学素养，是摆在数学教育工作者面前一项既迫切又艰巨的任务.在我国新制定的数学课程标准中写道：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断，同时为人们交 流信息提供了一种有效、简捷的手段.数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、 整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值.这无论是在 基础教育阶段还是高等教育阶段都是数学教育目的所在.数学思想方法是形成学生良好认识结构的纽带，是有知识转化为能力的桥梁.在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技研
10、究型人 才、迎接新世纪高科技挑战的必由之路.作为一名中学数学教师，了解微积分与中学数 学的关系，掌握微积分在中学数学中的应用，用较高的观点分析与处理中学教材，这对 提高中学数学教学是十分重要的.微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用.对微积分中蕴涵的主要数学思想， 如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度涉与.本文同时举例说明微积分在函数的单调性、 求函数的极值和最值、函数的变化性态与作图、 微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线与求法方面的应用.2 . 中学微积分的基本数学思想方法所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容本质的认识，它直接支配着数
11、学的时间活动，是解决数学问题的根本策略. 所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点 . 数学方法是解决数学问题的手段和工具 . 数学思想方法是数学思想和教学方法的总称. 数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理论知识 , 是数学方法的灵魂. 数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段 . 数学思想是对数学知识和方法的认识，数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具.微积分如今既是大学的重要基础课，也是高中新增加的数学课程的内容. 微积分的发展是很有趣的，其中思维方法极为重要，应引起我们在教学中的重视. 对微积分中蕴涵的主要数学思想，如
12、极限的思想、化归思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等从不同侧面都有不同程度的研究.2.1 “极限思想所谓极限的思想是用无限的变化过程来研究有限的思想它是用有限描述无限、由近似过渡到精确，更是一种工具、一种过程，特别是对于变化趋势的“无穷小过程，是高等数学的中心思想. “极限思想方法揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线等一系列对立统一与矛盾相互转化的辩证关系 . 其极限思想的本质是人们通过对变化过程量的分析来把握变化过程质的结果. 这是一种极有价值的思维方式. 这种思维也是非常重要的，有利于学生形成辩证逻辑思维，认识到数学知识的统一性.例如在求曲边梯形的面积时， 经历了四个过程：
13、 化“整为 “零， 以“直代 “曲，积“零为“整，取极限四个过程首先将曲边梯形任意分割成若干个小曲边梯形，对每个小曲边梯形的面积用较接近的小矩形的面积作为近似替代，分割得越细，近似程度越精确，最后以小矩形面积之和得极限值作为曲边梯形面积即：(1) 化“整为“零：分曲边梯形为 n 个小曲边梯形.图2-1图2-2在区间a,b中任意插入若干个分点ax0x1x2|xn1xnb ,把a,b分成n个小区间xo, x1 , x1, x2,xn 1, xn,简记作x 1,xJ i 1,2,|n ,它们的长度依次为：x1Xxo,又2又2x1， xn xn % 1 .设 x maxxi,x2,|,xn,经过每一个
14、分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，第i个小曲边梯形的 面积记作A, i 1,2,|n.(2)以“直代”曲：用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积.在每个小区间xi 1,x上任取一点i ,以xi 1,x为底，f ( i)为高的小矩形近似替代 第i个小曲边梯形(i 1,2,|巾)，则有Aif( i) xi, i 1,2,|n.(3)积”零为整”：求n个小矩形面积之和.把这样得到的n个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即nnA A f( 1) x1 f( 2) x2 |ll f( n) xn f( i) x . i 1i 1(4)取极限：由近似值过渡到精确值，x 0时，
15、可得曲边梯形的面积nA lim f ( i) xi ,求得曲边梯形的面积.x 0 一通过极限思想在这些概念中的应用，使学生体会到数学的思想方法是从现实生活生 产中产生的，并可以应用到现实生活中去.2.2 化归思想化归思想是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，把它归结到 某个（或某些）己经解决或简单的，比较容易解决的问题上去，最终求得原问题的解答的 思想，其核心就是简化与转化.化归思想有三要素：化归对象（要化什么），化归目标（化 成什么形式），化归途径（怎么化）.在化归思想中，“转化是关键.认知心理学认为： 新知识的获得，新概念的形成，总要以旧知识为基础进行组织和构造的.即把新旧知识 建立起联系，而这种联系常常用到化归思想.可见，化归思想贯穿于数学教材的始终， 贯穿于解题过程的始终，它是最重要的、应用最广的数学思想.化归思想实际上是我们 在研究问题时通过“去伪存真，改“正面进攻为“迂回侧攻来简化问题的一种手 段，以此来认清问题的数学本源，达到顺利解决问题的目的.例如在高等数学中常常利用化归原则，把反三角函数求导，复合函数求导，转化为 导数的四则运算法
