“数学建模”教学初探

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1、“数学建模”教学初探梅江区嘉应中学 余玉珍数学建模的教学实践在我国己有十多年的探索了,新的国家课程标准和新的教材都将数学建模内容列入学生必修内容。在课程标准里主要有这样的几点要求，一个是问题一定来源于学生的日常生活和现实生活当中，了解和经历解决实际问题的过程，并且根据学生已有的经验发现要提出的问题。同时，希望同学们在这一过程中感受数学的实用价值和获得良好的情感体验。当然也希望同学们在这样的过程当中，学会通过查询资料等手段来获取信息，之后采取各种合作的方式解决问题，养成与人交流的能力。实际上数学建模的过程不仅仅限于课外，它和课本内容也是有结合的。一、数学建模的基本理论：数学模型：简单地说，数学模

2、型就是用数学语言来模拟空间形式和数量关系的模型。具体地说，数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说，数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可以称为数学模型。如“椭圆的方程及图象”就是一个数学模型，“用二分法求方程的一个近似解”也是一个数学模型。数学建模：把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称

3、为数学建模。数学建模是一种数学的思想方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并解决实际问题的一种强有力的数学手段。二、建立数学模型的大致过程是：（1） 了解问题的实际背景，明确其实际意义、建模目的，搜集掌握对象的各种信息，弄清对象的特征，用数学语言来描述问题，确定数学模型的类别。（2） 根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。（3） 在假设的基础上，利用对象的内在规律和适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（4） 利用获取的数据资料，采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近

4、代的数学方法，特别是计算机技术，对模型的所有参数做出计算（估计）。并选择具有关键性作用的基本数量关系并确定其间的相互关系。（5） 运用数学概念、数学符号、数学表达式描述事物的对象及其相互关系。 数学建模的主要程序如下面所示：实际问题分析、联想、转化、抽象 回答解答数学问题建立数学模型三、教学过程中 “数学建模”思想如何培养1、为了培养学生的建模意识，教师首先需要提高自己的建模意识。这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。中学数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活。

5、让学生能够清楚认识到数学与现实生活之间的密切联系，从而提高他们学习数学的兴趣。2、数学建模教学还应与现行教材结合起来研究。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题，如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模型中来解决；又如在解几中讲了两点间的距离公式后，可引入两点间的距离模型解决一些具体问题,而储蓄问题、信用贷款问题则可结合在数列教学中。要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。3、注意与其它相关学科的关系。由于数学是学生学习其它自然科学

6、以至社会科学的工具而且其它学科与数学的联系是相当密切的。因此我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。例如教了正弦函数后，可引导学生用模型函数写出物理中振动图象或交流图象的数学表达式。可见，这样的模型意识不仅仅是抽象的数学知识，而且将对他们学习其它学科的知识以及将来用数学建模知识探讨各种边缘学科产生深远的影响。四、“数学建模”的教学尝试1、曲线拟合在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图。(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或曲线。(3)根据所

7、学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数的关系式。(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据。例1：某国从1790年至1950年人口数据资料：时间179018001810182018301840185018601870人口(百万)3.9295.3087.249.36812.86617.06923.18231.44338.558时间18801890190019101920193019401950人口(百万)50.15662.94875.99591.972105.711122.775131.669150.697试利用上述资料预测该国1980年的人口数：分析：假

8、设该国政治、社会、经济环境稳定，而且人口数量是时间连续函数。建模求解以x轴代表年度，y轴代表人口数，建立直角坐标系，描出散点图，观察散点图，可以发现，从1890年以后散点近似分布在一条直线上，而从散点图的整体趋势来看，可以认为散点近似分布在一条抛物线上一部分或近似分布在一条指数曲线上，因此，可以采用直线型拟合，抛物线型拟合和指数曲线型拟合。（直线型拟合法）从散点图可以看出，1890年以后散点近拟分布在一条直线上，过两点（1900，75.995），（1920，105.711）作直线(y-105.711)(x-1920)=(105.711-75.995)(1920-1900),即y=1.4858x

9、-2747.025.当x=1980时，y=194.859106即1980年该国人口预测为194.859百万人。（抛物线型拟合法）从散点图的整体趋势看，散点近似分布在一条以直线x=1790为对称轴的抛物线上，则以点(1790，3.929)为顶点，再任意选一点(1890,62.948)所确定抛物线方程为y=0.0059(x-1790)2+3.929当x=1980时y=216.919106即该国人口预测为216.919百万。（指数曲线法）从散点图的整体趋势来看，还可认为所有散点近似分布在一条指数线上，设指数方程为y=abx-c。1940，1950这两年离1980年最近，指数方程化为y=abx-194

10、0记Y=lgy，X=x-1940，则Y=Xlgb+lga可用线性回归方法确定参数a，b，若对精确度要求不是很高的情况下，只须用点(1940,131.669)，（1950，150.697）去确定a，b，容易计算得出a=131.669，b=1.0136。指数曲线方程为y=131.669(1.0136)x-1940当x=1980时，y=226.02106即1980年该国人口为226.02百万。2、线性规划：线性规划应用问题的一般求解步骤是：（1）根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形即可行解区域（2）设所求的目标函数f(x,y)为m值（3）将各顶点坐标代入目标函数，即可得m的最大值和最小值。

11、或求直线f(x,y)=m在y轴上截距的最大值（最小值），从而得m的最大值和最小值例1：下表所示为X，Y，Z三种食物的维生素含量及成本XYZ维生素A（单位/kg）400600400维生素B（单位/kg）800200400成本（元/kg）654欲将三种食物混合，制成100kg的混合物，设所用的食物X，Y，Z的份量依次为x,y,z(kg)（1）试以x,y表示z；（2）试以x,y表示混合成本；（3）若混合物至少需要44000单位维生素A及48000单位维生素B，证明：y20,2x-y40,x+y100;（6） 定出x,y,z的值，使成本为最少；解：(1)x+y+z=100 z=100-x-y y m=

12、400+2x+y(2)混合物成本=6x+5y+4z；把(1)代入可得， 2x-y=40混合物成本=6x+5y+4z=6x+5y+4(100-x-y)=400+2x+y C(3)400x+600y+400z44000，把(1)代入可得y20. 800x+200y+400z48000，把(1)代入得2x-y40. Y=20 A Bx+y+z=100 x+y=100-z，而z0，x+y100. x(4)定出x,y,z，使成本最少，这一问题可转化为求当点(x,y)在平面区域ABC（包括边界）上变动时，目标函数：m=400+2x+y的最小值。若令m变动，就得到斜率为-2的一组平行直线，y=2x+m-40

13、0，当直线过点A(30,20)时，m=480；当直线过点B(80,20)时，m=580，且不难验证m580或m480时，直线m=400+2x+y与区域ABC无公共点，因此在区域ABC（包括边界）内的所有点(x,y)都有480m580，故使400+2x+y有最小值的点为(30,20)其最小值为480。当x=30kg，y=20kg，z=50kg时，成本最少为480元。3、一个三角测量问题的教学过程教学内容：怎样测量平面上两个不能到达的地方之间的距离？ 设A、B是两个海岛，如何在岸边测量它们之间的距离？师生互动：合作探究：学生分组讨论，探寻解决问题的方案。以下是讨论内容与过程：与问题一类似，如果只选

14、一个观测点C，在ABC中只能测得ACB的大小，问题不能得到解决。因此需要再选择一个测点D，构造出一个能测出其一条边长的BCD。要求出AB，还应先求出AC和BC，为此应先解ACD和BCD。演练方案：按照上面讨论的方案，各组同学进行模拟演练：如图3，在岸边适当选取点C、D，使A、B、C、D共面（即保持在同一水平面上），测得，在BCD中，由正弦定理，可以得到:，同理，在ACD中也可以得到.在ABC中，由余弦定理，得，从而求得AB。设计意图：根据实际情况，把实际问题解析几何化，选用适当公式、定理列出函数关系，利用代数方法解决问题，考查了学生解决实际问题的能力，加强了学生的合作意识，培养学生探寻解决问题

15、的方法的思路与策略，提高学生应用所学知识解决问题的能力。五、“数学建模”的教学反思数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型。数学建模可以提高学生的学习兴趣。有许多学生认为：“数学建模使我更深切地感受到数学与实际的联系，感受到数学问题的广泛，使我们对于学习数学的重要性理解得更为深刻，也使我们更加重视实际应用”。学生们在问题解决的全过程中得到学数学、做数学、用数学的实际体验，亲身体会到数学探索的愉悦。数学建模把课堂上的数学知识延伸到实际生活中，呈现给学生一个五彩缤纷的数学世界。而数学建模问题中比如投资买卖、手机付费等方面的问题都贴近实际生活，有较强的趣味性，学生容易对其产生兴趣，这种兴趣又能激发学生去更努力地学习数学。在数学教学中构建学生的数学建模意识与素质教学所要求的培养学