基本代数概念.doc

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1、一、 自然数1、 定义：用以计量事物的件数（表示物体个数）或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，所表示的数 。自然数由0开始(包括0)， 一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有数量、次序两层含义，分为基数、序数。2、 基本计数单位：个、十、百、千、万3、 分类：按能否被2整除可分为奇数和偶数奇 数：不能被2整除的数叫奇数。 偶 数：能被2整除的数叫偶数。 特别注意：0是偶数。（2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以被2整除,0照样可以，只不过，得数依然是0而已，但是不可以说它没有缩小）。按因数个数分： 可分为质数、合数和1 质 数：只有1和

2、它本身这两个因数的自然数叫做质数。质数也称作素数。 合 数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。 1：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。当然0不能计算因数也一样是非质数、非合数。 注：是因数不是约数。二、 分数1、 定义：把单位“1”（整体“1”或1物体）平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。表示这样的一份的数叫分数单位。分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数。把1平均分成分母份，表示这样的分子份。2、 读法：分数中间的一条横线叫做分数线，分数线上面的数叫做分子，分数线下面的数叫分母，读作几分之几（即分母分之分子）。3、 注意事项：分母不能为0，否则无意

3、义，分子可以等于0，相当于0除以任何一个数，不论分母是多少，答案都是0。分数中的分子或分母经过约分后不能出现无理数（如2的平方根），否则就不是分数。一个最简分数的分母中只有2和5两个质因数就能化成有限小数；如果最简分数的分母中只含有2和5以外的质因数那么就能化成纯循环小数；如果最简分数的分母中既含有2或5两个质因数也含有2和5以外的质因数那么就能化成混循环小数。（注：如果不是一个最简分数就要先化成最简分数再判断）4、 性质：（a）、分数可以表述成一个除法算式：如二分之一等于1除以2。其中，分子等于被除数，分数线等于除号，分母等于除数，而0.5 分数值则等于商。（b）、分数还可以表述为一个比，例

4、如；二分之一等于1比2，其中分子等于前项，分数线等于比号，分母等于后项，而0.5分数值则等于比值。（c）、分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得到的分数与原分数的大小相等。（d）、一个分数不是有限小数，就是无限循环小数，像等这样的无规律的无限小数，是不可能用分数代替的。5、 分类：分数可以分成：真分数，假分数，带分数，百分数或分成正分数和负分数。但在数学界中一般只认同真分数和假分数这两种说法。 真分数：指分数的值小于1，即分子比分母小的分数。 假分数：指分数的值大于1或者等于1。即分子比分母大或相等的分数。 带分数：带分数是假分数的另外一种形式。整数与真分数相加所成的分数。带分数

5、就是将一个分数写成整数部分+一个真分数。读作几又几分之几。百分数：指表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而采用符号“”（叫做百分号）来表示。6、 百分数与分数的区别：（1）意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称。2）百分数的分子可以是整数，也可以是小数；而分数的分子不能是小数只是除0以外的自然数；百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数。（3）任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义。三、 小数1、 定义

6、：小数由整数部分、小数部分和小数点组成。小数点左边的部分是整数部分，小数点右边的部分是小数部分整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。2、 读法：有两种：一种是按照分数的读法来读带小数的整数部分按整数读法读；小数部分按分数读法读例如：0.38读作百分之三十八，14.56读作十四又百分之五十六另一种读法，整数部分仍按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字，若几个零重复，不可只读一个0例如：0.45读作零点四五；56.032读作五十六点零三二；1.0005读作一点零零零五。3、 比较大小：小数大小的比较方法与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位

7、上的数加以比较。4、 性质：（1）小数末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，但计数单位变了，例如；2.4=2.400，0.060=0.06。（2）、把小数点分别向右移动一位、二位、三位 位，则小数的值分别扩大10倍、 100倍、 1000倍例如：把7.4扩大10倍是74，扩大100倍是740（3）、如果把小数点分别向左移动一位、二位、三位 则小数的值分别缩小到原来的十分之一、 百分之一、 千分之一. 例如：把7.4缩小到原来的十分之1是0.74，缩小到原来的百分之一是0.0745、 意义：可从分数的意义着手，分数的意义可从子分割及合成活动来解释，当一个整体（指基准量）被等分后，在集聚其中一部份的

8、量称为分量，而分数就是用来表示或记录这个分量。例如：2/5是指一个整数被分成五等分后，集聚其中二分的分量。当整体被分成十等分、百等分、千等分等时，此时的分量，就使用另外一种纪录的方法小数。例如1/10记成0.1、2/100记成0.02、5/1000记成0.005等。其中的.称之为小数点，用以分隔整数部分与无法构成整数的小数部分。整数非0者称为带小数，若为0则称纯小数。由此可知，小数的意义是分数意义的一环。四、 负数1、 定义：是数学术语，指小于0的实数，如3。负数是同绝对值正数的相反数。任何正数前加上负号都等于负数。在数轴线上，负数都在0的左侧，所有的负数都比自然数小。负数用负号（Minus

9、Sign，即相当于减号）“”标记，如2，5.33，45，0.6等。2、 大小：（1）、负数比零小，正数都比零大。零既不是正数，也不是负数。（2）、在数轴线上，负数都在0的左侧，没有最大或最小的数。3、 具有相反意义的两量的条件：（1）它们必须是同一属性的量；（2）它们的意义相反。如：上升和下降；向东运动和向西运动，盈亏等。4、 相反数的意义：（1）、相反数的代数意义 只有符号不同的两个数称互为相反数。（2）、相反数的几何意义 到原点距离相等的两个点表示的两个数是互为相反数。注意：、相反数不具有传递性，即如果x是y的相反数，y是z的相反数，那么x不一定是z的相反数（除非x=y=z=0）、只有0的

10、相反数才是它本身。、当a、b互为相反数时，且a0，必有必有ab0，|a|=|b|。5、 举例：甲地海拔高度是35米，乙地海拔高度是15米，丙地海拔高度是20米，请问哪个地方最高，哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？ 分析：35米表示高出海平面35米，15米表示高出海平面15米， 20米表示低于海平面20米，所以甲地最高，丙地最低，且甲地比丙地高55米。6、 运用：负数可以广泛应用于温度、楼层、海拔、水位、盈利、增产/减产、支出/收入、得分/扣分等等的这些方面。五、 二次根式1、 定义：一般形如（a0）的代数式叫做二次根式。当a0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二

11、次方程中，若根号下为负数，则无实数根）被开放数必须大于等于0。2、 性质：（1）、a0；a0【双重非负性】 （2）、（a）=a（a0）【任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式】 （3）、a=|a| （4）、c=a+b【在直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的开平方】3、 最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）被开方数不含分母化简时应注意：、化简时，往往需要把被开方数分解因数或分解因式当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母有理化。4、 平方根：又叫二次方根，若一个数的平方

12、等于a，那么这个数叫做a的平方根。即：若x=a，那么x叫做a的平方根。其中，正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。注意：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根。一个正数的平方根有两个，并且它们互为相反数。求一个数a的平方根的运算叫做开平方。5、 立方根：又叫三次方根，若一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。即x=a，那么x叫做a的立方根。其中：一个数a的立方根，用符号a表示，读作“三次根号a”，a是被被开方数，3是根指数。注意：任意实数都有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根是0。根指数3不

13、能省略。求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。六、 整式1、 定义：是有理式的一部分，单项式和多项式统称为整式。注意：有理式是指对于字母只进行有限次加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。2、 代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。包括有理式和无理式。注意：不包括等于号（=、）、不等号（、）、约等号。 2、可以有绝对值。例如：|x|，|-2.25| 等。3、 单项式：（1）定义：是指由数或字母与字母相乘组成的代数式。注：单独一个数或字母也叫做单项式。（2）表现形式：数字与字母的乘积的形

14、式；单个字母或数字也是单项式。（3）单项式的系数：单项式中的常数因数及性质符号叫做单项式的系数；如果一个单项式只含有字母因数，是正数的单项式系数为1,是负数的单项式系数为-1。（4）单项式的次数：一个单项式中所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。4、 多项式：（1）定义：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式有几项就叫做几项式。（2）多项式的次数：多项式中,次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。（3）多项式的排列：升幂：是把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列；降幂：是把一个多

15、项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂的排列。注：第一，由于单项式的项包括它前面的性质符号,因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分,一起移动.第二，在对有两个或两个以上字母的多项式排列时,要先确认按照哪个字母的指数来排列。七、 分式1、 定义：形如 ，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。注意：看式子是否是 的形式，分式的分母中必须含有未知数，分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。正如分数一样，分式也可以表示除法。2、 性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。3、 变形：通分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时,一般将一个分式化为最简分式.通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，这种变形称为通分。最简公分母的确定方法系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。