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1、线性代数基础习题第一章 行列式一、 填空题：1设是五阶行列式中带有负号的项，则= ，= 。2 在四阶行列式中，带正号且同时包含因子和的项为_ _。3 在五阶行列式中，项的符号应取 。4已知，则中的系数为 。5 行列式_ _。二、 计算下列各题：1计算。2设，求的值。3计算4计算5计算 6计算7设齐次线性方程组 有非零解，求的值。第二章 矩阵一、填空题：1设A,则R(A)= 。2设是3阶方阵，且，则= 。3 。4设为矩阵，把按列分块为，其中为的第列，则 。5设为3阶方阵，按列分块为，则= 。二、选择题：1 设A,B为n阶方阵，则下列命题中正确的是（ ）。A. 或； B. ；C. ； D. 。2.
2、 设A为矩阵,则A的秩最大为( )。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. 是阶矩阵，且，则必有（ ）。 A B. C D. 4. 当（ ）时，. A B. C. D. 三、计算题1设A=，求。2设，且，求。3设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，证明为反对称矩阵的充分必要条件是。4设为3阶方阵，且，求。5已知矩阵的秩为3，求的值。四、 设为阶方阵，且有，证明可逆，并求其逆。第三章 向量空间一、填空题：1已知，且向量满足，则= 。2向量组,线性 。（要求填写“相关”或“无关”）3已知向量组，的秩为2，则 。4若，线性相关，则应满足关系式 。5. 设，且，已知与线性相关，则 。二、选择题：1 下
3、列向量组中，线性无关的是（）（A），； （B），； （C），；（D），2下列向量组中，线性相关的是（ ）（A），；（B）； （C），；（D）， 3设向量组，线性无关，则（ ） （A）； （B）； （C）；（D）4.设均为维向量，那么下列结论正确的是（ ）。 （A）若，则线性相关；（B）若对任意一组不全为零的数，都有，则线性无关；（C）若线性相关，则对任意一组不全为零的数，都有；（D）若，则线性无关.5. 设是阶方阵，且的行列式，则中（ ） （A）必有一列元素全为零； （B）必有两列元素对应成比例；(C）必有一列向量是其余列向量的线性组合；（D）任一列向量是其余列向量的线性组合.三、计算下列各题
4、：1 判断向量组,的线性相关性2求向量组,的秩和一个极大无关组,并将其余向量表成该极大无关组的线性组合3设向量组，若此向量组的秩为2，求的值。四、证明题1设,线性无关,证明: ,也线性无关2.设是矩阵，是矩阵，其中,是阶单位矩阵，若,证明的列向量组线性无关。第四章 线性方程组一、 填空题：1已知方程组无解，则。2设为3阶方阵，且向量和是的两个解向量，则的通解为 。3设都是4维 列向量，且线性无关，。的通解为 。二、 单选题：1设为阶方阵，是方程组的两个不同的解向量，则方程组通解为（ ） （A） （B） （C） （D）。2元线性方程组有唯一解的充分必要条件是（ ） （A）； （B）为方阵且；（C
5、）； （D），且为的列向量组的线性组合。3线性方程组（）与其所对应的齐次线性方程组满足（ ）。（A）若有唯一解，则也有唯一解；（B）若有无穷多解，则也有无穷多解；（C）若有无穷多解，则也有无穷多解；（D）若有唯一解，则无解。4. 设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且，是任意常数，。则线性方程组的通解为（ ）。A ，B ，C ，D 三、计算题1求齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示它的全部解：2.求线性方程组的全部解：3当取何值时，下列线性方程组有解？有解时，求出其全部解：。4 当取何值时，方程组 有唯一解，无解，有无穷多解？并在 有无穷多解时求其通解。四、证明题：1.设有方程组，
6、证明：此方程组有解的充分必要条件是。2.设是的个线性无关的解，证明是的基础解系。 第五章 方阵的特征值与特征向量一、填空题： 1设方阵的行列式，则必有一个特征根为 。2设为3阶方阵，的三个特征根为1，2，3，则= 。3设的每行元素的和均为6，则有一个特征根为 ，及一个属于此特征根的特征向量为 。 4设为3阶方阵，且，则= 。5设与均为阶方阵，为可逆阶方阵，使得。那么，若是的特征根，是的属于特征根的特征向量，则 必为的属于特征根的特征向量。二、选择题：1设3阶方阵与相似，且的3个特征根为2，3，4。则=（ ）。A 12， B ， C ， D 。2设为3阶方阵，的三个特征根为3，2，1，其对应的特
7、征向量依次为，则=（ ）。A ，B ，C ，D 。3设都是阶方阵，且相似于，则下列说法不正确的是（ ）。A ， B ，C ， D 与都相似于同一个对角矩阵。4已知，且，则（ ）。A ，B ，C ， D 。5. 设是一个3阶方阵，且，又已知的两个特征根为，则=（ ）。 A 3， B 2， C 12， D 12。三、计算题：1.求矩阵的特征值与特征向量。2.判断是否可对角化，若可对角化，则求出对角矩阵与相似变换矩阵。3. 已知，且，（1）求；（2）求可逆矩阵，使。四、证明题：1设是的特征根，证明：（1）5是5的特征根；（2）是的特征根。2证明若可对角化，则必有。第六章 二次型一、填空题：1二次型的
8、系数矩阵为_ 。2设实对称矩阵与其在正交变换下的标准形分别为， 且，则_。3 已知为3阶实对称矩阵，且满足条件。则=_ ；在 正交变换下的标准形为 _。4设为正定矩阵，则的取值范围是_ _。5二次型在正交变换下的标准形为_ _；秩数为_；正惯性指数为_；负惯性指数为_。二、选择题：1设均为阶正交矩阵，则下列矩阵不一定为正交矩阵的是（ ）： A ； B ； C ； D ； 。2。已知二次型在正交变换下的标 准形为，则（ ）。A 4； B -4； C 2； D -2。3. 设矩阵 正定，则其在正交变换下的标准形为（ ）。A ； B ； C ； D 。三、计算下列各题：1把下列线性无关的向量组进行正
9、交化。 。2用正交变换把下列二次型化为标准形，并求出所用的正交变换。；3判断下列二次型是否是正定二次型。（1）；（2）。四、证明题：1证明正交变换不变向量的内积与不变向量的长度。即：设为阶正交矩阵，是 维向量，证明（1）与的内积等于与的内积； （2）。2设是可逆的实对称矩阵，证明为正定矩阵。3设是阶正定矩阵，证明。 线性代数基础习题答案第一章 行列式5 填空题：12，1； 2.； 3（正）； 42； 5 2000.6 计算下列各题：1 解 .2. 解 将的第4行换为1，1，1，1，则.3. 解 由行列式展开定理有.4解：.5解： .6解：第一列提出一个2，第二列提出一个3，第三列提出一个4，第
10、四列提出一个5。=5760.7 解：若所给方程组有非零解，则其系数行列式必为零，即 ，从而得或.第二章 矩阵一 填空题1.2； 2.； 3.； 4.6； 5.16。二、 选择题1.B；2.C；3.B；4.B。三、计算题1.解 ，故。2. 解 由可得，故 ， 故。3. 证明 ，若是对称矩阵，则；若，则，故是对称矩阵。第二章 解 .第三章 解 由已知，于是有.8 解 由可得，故可逆，且.第二章 向量空间一、填空题：1、。2、相关。3、-7。4、。5、3。二、选择题：1、（B）。2、（D）。3、（B）。4、（B）。5、（C）。三、计算下列各题：1、解：。所以，从而，线性无关。2、所以，；，是它的一个
11、极大无关组；且,。3、解：由知，即。四、证明题：1、证明：设，即因为线性无关，所以， 所以，线性无关。2、证明：由知，。又因为，所以，。从而，的列向量组线性无关。第四章 线性方程组 9 填空题：1不为的任何数； 2（为常数）；3（为常数）.10 单选题：1C； 2D； 3B； 4C .三、计算题1解：把方程组的系数矩阵通过行初等变换化为最简梯矩阵所以原方程组的同解方程组为即令，得到原方程组的基础解系为， 故原方程组的全部解是，这里是任意常数。2解：对线性方程组的增广矩阵做行初等变换化为最简梯矩阵 则原方程组的同解方程组为 令，得原方程组的特解为 原方程组对应的齐次方程组的同解方程组为 其基础解系为 ， 于是原方程组的通解为
