《双因素试验的方差分析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《双因素试验的方差分析.doc（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A和B，每个因素取两个水平.ABA1 A2B1 B230 50100 80表9-7(a) 表9-7(b)ABA1 A2 B1B230 5070 90表9-7（a）中，无论B在什么水平（B1还是B2），水平A2下的结果总比A1下的高20；同样地，无论A是什么水平，B2下的结果总比B1下的高40.这说明A和B单独地各自影响结果，互
2、相之间没有作用.表9-7(b)中，当B为B1时，A2下的结果比A1的高，而且当B为B2时，A1下的结果比A2的高；类似地，当A为A1时，B2下的结果比B1的高70，而A为A2时，B2下的结果比B1的高30.这表明A的作用与B所取的水平有关，而B的作用也与A所取的水平有关.即A和B不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A和B的交互作用，记作AB.在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A和B的作用，还要检验它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A，B作用于试验的指标，因素A有r个水平A1,A2,Ar,因素B有s个水平B1,B2,Bs,现对
3、因素A，B的水平的每对组合(Ai,Bj),i=1,2,r；j=1,2,s都作t(t2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：表9-8因素B因素AB1B2BsA1x111, x112, x11tx121,x122, x12tx1s1, x1s2, x1stA2x211, x212, x21tx221,x222,x22tx2s1, x2s2, x2stArxr11, xr12, xr1txr21, xr22, xr2txrs1, xrs2, xrst设xijkN(ij,2), i=1,2,r； j=1,2,s； k=1,2,t,各xijk独立.这里ij,2均为未知参数.或写为 (9.16
4、)记=, , i=1,2,r, j=1,2,s, i=1,2,r, , j=1,2,s,.于是 ij=+i+j+ij. (9.17)称为总平均，i为水平Ai的效应，j为水平Bj的效应，ij为水平Ai和水平Bj的交互效应，这是由Ai,Bj搭配起来联合作用而引起的.易知=0, =0，=0, j=1,2,s,=0, i=1,2,r，这样（9.16）式可写成 (9.18)其中,i,j,ij及2都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A，B及交互作用AB是否显著.要检验以下3个假设：类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记, i
5、=1,2,r； j=1,2,s，, i=1,2,r，, j=1,2,s，ST=.不难验证分别是,i,j,ij的无偏估计.由 ，1ir,1js,1kt得平方和的分解式：ST=SESASBSAB， (9.19)其中SE=，SA=，SB=，SAB=.SE称为误差平方和，SA，SB分别称为因素A，B的效应平方和，SAB称为A，B交互效应平方和.当H01:1=2=r=0为真时，FA= F(r-1,rs(t-1)；当假设H02为真时，FB= F(s-1,rs(t-1)；当假设H03为真时，FAB= F(r-1)(s-1),rs(t-1).当给定显著性水平后，假设H01，H02，H03的拒绝域分别为： (9
6、.20)经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.表9-9方差来源平方和自由度均方和F比因素ASAr-1FA=因素BSBs-1FB=交互作用SAB(r-1)(s-1)FAB=误差SErs(t-1)总和STrst-1在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算ST，SA，SB，SAB,SE.记 T=，Tij=, i=1,2,r; j=1,2,s，Ti=, i=1,2,r,Tj=, j=1,2,s,即有 (9.21)例9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kgcm-2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下
7、分析不同的硫化时间（A），加速剂（B）以及它们的交互作用（AB）对抗牵拉强度有无显著影响.表9-10140下硫化时间（秒）加速剂甲乙丙40608039，3643，3737，4141，3542，3939，4040，3043，3636，38解 按题意，需检验假设H01,H02,H03.r=s=3, t=2，T,Tij,Ti,Tj的计算如表9-11.表9-11加速剂Tij硫化时间甲 乙 丙Ti406080Tj75 80 7876 81 7970 79 74221 240 231233236223692ST=178.44，SA=15.44，SB=30.11，SAB= =2.89，SE=ST-SA-SB
8、-SAB=130，得方差分析表9-12.表9-12方差来源平方和自由度均方和F比因素A（硫化时间）因素B（加速剂）交互作用AB误差15.4430.112.8913022497.7215.560.722514.44FA=0.53FB=1.04FAB=0.05总和178.44由于F0.10(2,9)=3.01FA,F0.10(2,9)FB,F0.10(4,9)=2.69FAB,因而接受假设H01,H02,H03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（Ai,Bj）只做一次试验，即不重复试验，所得结果
9、如表9-13.表9-13因素B因素AB1 B2 BsA1 A2Arx11 x12 x21 x22 xr1 xr2 x1sx2sxrs这时=xijk,SE=0,SE的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A，B两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将SAB取作SE，仍可利用等重复的双因素试验对因素A，B进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由（9.18）式, (9.22)要检验的假设有以下两个：记 平方和分解公式为：ST=SA+SB+SE， (9.23)其中 分别为总平方和、因素A，B的效应平方和和误差平方和.取显著性水
10、平为,当H01成立时，FA= F(r-1),(r-1)(s-1)，H01拒绝域为FAF(r-1),(r-1)(s-1). (9.24)当H02成立时，FB= F(s-1),(r-1)(s-1)，H02拒绝域为FBF(s-1),(r-1)(s-1). (9.25)得方差分析表9-14.表9-14方差来源平方和自由度均方和F比因素A因素B误差SASBSEr-1s-1(r-1)(s-1)SA= SB= SE=FA=FB=总和STrs-1例9.6 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kgmcm-1），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（=0.01）表9-15铜含量冲击值试验温度0.2%0.4%0.8%200-20-4010.67.04.24.211.611.16.86.314.513.311.58.7解 由已知，r=4,s=3,需检验假设H01,H02，经计算得方差分析表9-16.表9-16方差来源平方和自由度均方和F比温度作用铜含量作用试验误差64.5860.745.4332621.5330.370.90523.7933.56总和130.7511由于F0.01(3,6)=9.78FA,拒绝H01.F0.01（2,6）=10.92FB,拒绝H02.检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.7
