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1、设有一泊松过程Nt, t 0，求:(1) P N t1 k1, N t2 k2，用切t2的函数表示之;(2) 该过程的均值和相关函数。问该过程是否为平稳过程？ (1)解：首先，P N(t1) k1, N(t2) k2 P N(t2) k2 N (t1) k1 P N(t1) k1根据泊松过程的独立增量性质可知PN(t2)k2 N (t1) k1P N(t2 t1) k2 k1(t2t1)k2 k1(k2kJ!(t2 t1)于是,P N(t1)k1, N(t2)k2k2(t2t1)k2 k1t1k1e坏仇k1)!t2(2)解：该过程的均值为E N(t)3 k 0 k!te ttk11 k 1!根
2、据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(t2 t1 )E N(tJN(t2)EN(tJN(t2)N(tJ N(tJEN(t1)EN(t2) N(t1) EN2(t1)其中，EN(t2)N(tJ(t2 tj2 2 2EN2(t1)2tft1于是，t2 t1时的相关函数为E N(t1)N(t2)2t1 (t2 t1) t12t1t2t1同理可得t1 t2时的相关函数为EN(t1)N(t2)2t1t2t2所以，泊松过程的相关函数为E N(tJN(t2)试求它的二元概率密度。 试问该过程是否平稳？(1)解：设tlt2，tl和t2时刻的脉冲幅度之间的关系有两种情况：tl和t2处于同一脉冲内；t1，
3、和t2不处于同一脉冲内。对于情况，由于不同脉冲内的幅度取 值是相互统计独立的，因此两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为f (t1) (x1) f (t2) (x2)t1t2mintt2所以，泊松过程过程不是平稳过程。设有一个最一般概念的随机电报信号 (t)，它的定义如下：(1) (0)是正态分布的随机变量N(0, 2)；(2) 时间 内出现电报脉冲的个数服从泊松分布，即()kPk, (k=1,2,)k!(3) 不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布N(0, 2)，这个脉冲幅度延伸到下 一个电报脉冲出现时保持不变，不同电报脉冲幅度的取值是相互统计独立的，同一电报脉冲内幅度是不变的。(4) 不同时间
4、间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。它的样本函数如图4-2。图4-2其中，f (tl)(X1)和f(t2)(X2)分别是(t)在ti和t2时刻的概率密度函数。发生情况 的概率就是ti和t2两个时刻间的脉冲变化次数大于等于1的概率，即、()kPrt1和t2处于不同脉冲内e 1 e ,t1 t2k 1 k!显然，t1和t2处于同一脉冲内的概率为e。在这种情况下，两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为f (t1)(X1) (X2 X1)因此，t1和t2时刻的脉冲幅度的联合概率密度函数为f (t1) (t2) (x1 ,X2)(t2 t1)1X1X2(t2 1X11 e 2 2都均匀分布于(0，
5、1)上，所以E 1丿2exp -厂 e k2 1 exp 飞(x? xj222 2J22 2(2).由此可见该过程是平稳过程，并且可以推导其多维PDF也是只与各时刻间的间隔有关，因此是严平稳过程。设1、 2为独立同分布随机变量，且均匀分布于(0，1)上，又设有随机过程(t)1Sin( 2t)求(1)(t)均值； (2)(t)的相关函数(1)解：由于1、2是独立的，因此E (t) E 1Sin( 2t)E 1Esin( 2t)Esin( 2t)10sin( 2t)d 21 costt于是,E (t)1 cost2t(2)相关函数为其中和所以,E (ti) &)i sin(t|t2)6tit2si
6、n(t|t2)ti t22E (ti) (t2) E i2Esin( 2ti)sin( 2上2)E i2Esin( 2ti)sin( 2t2)1 i2 0COS 2(tl t2) cos 2(tl t2)d 21 sin 仙 t2) sin(h t2)2 t 12ti 12设（t）是实正态分布平稳随机过程，它的数学期望为0。如定义(t)1 i (t) (t )2 | (t) (t )| 试证明E (t) icos i k ()其中，k （）C ( )/ 2，C ()代表（t）的协方差函数,C （0）代表（t）的方证明：由给出的（t）定义式可知它有两种可能的取值，即,(t) (t )0(t)0
7、,(t) (t )0因为（t）是实正态平稳随机过程，且均值为0,所以联合正态分布为f (t) (t)(x, y)x2 2rxyy2其中,参考概率随机变量和随机过程22 2(i r2)r C ( )/ 2 k ()（西安电子科技大学译本）之第 226至229页可以P (t) (t)0P (t) (t)0其中,arcs inr因此，（t）的均值为E(t)1P (t)(t)0 0 P (t) (t ) 01darccos( r) cos k ()设有随机过程zsin (tt）。其中，乙 是相互独立的随机变量,1P - 2，P712，Z均匀分布于（-1，之间。试证明是宽平稳随机过程，但（t）不满足严平
8、稳的条件（不满足一级严平稳的条件） 证明：由Z均匀分布于（-1 , 1）之间得2 1Ez 0, Ez2-3并且z和 相互独立。所以，（t）的均值为E (t)EzEsin(t) 0(t)的相关函数为R (tj 心)Ez2Esin (t1 )sin )1E cos(t12 1t2) cos(t2 t1)cos(t12 1t22)-cos(t1 t2 -) cos(t2t1)-cos(t1 t2)6由此可见，（t）的均值为常数，相关函数只与时间差t2 t1有关。因此，随机过程（t） 是宽平稳随机过程。证明严平稳可以用特征函数，（t）的一维特征函数为Eejuzsin(t)1juzsin(t )2Eze
9、 4 1juzsin(t )2Eze 4 1 1 i juz sin(t )i 1 i juzsin(t )e 4 dze 4 dz2 12 2 12sin usi n(t )4 ju sin(t 才)sin usi n(t )ju si n(t 才)与时间t有关（如下图所示），因此（t）不是严平稳。设z为随机变量,为另一随机变量，z与 相互统计独立，均匀分布于（0,2 ）间;又设有随机过程(t) zsin( t )( t )其中为常数,0,试利用特征函数证明（t）是一严平稳随机过程证明：因为特征函数能唯一地确定概率密度函数， 若能证明 的k阶特征函数具有时移不变性，即(UU2, 川厂切七？,
10、 ,tj(W，U2, 从飞，t2,tk )则其k维概率密度函数是时移不变的。如果对于任意 k都成立，则该过程是严平稳的。该随机过程中包含z和两个随机变量，且z与 相互统计独立。因此，其特征函数可以分两步求解。首先,分布于(0,2 )间，即f ()令z a，对求均值，然后再对+，于是Z求均值。由于均匀E exp jikUi1。则E exp jkuii 1上式中的被积函数是所以,由此可见,(ti(ti)z a)z aexpji的周期函数，周期为exp jikui (ti1kexp jiE exp jikEzE exp j Ui (tii 1kEexp j Ui (tii 1kuiasin( ti1
11、kexp juias in(i 1ti。因此,)zauias in(1tikUi(ti ) z1)z)akEzE exp jUi (ti) zi 1Eexp jikUi (ti)1(t)的k阶特征函数具有时移不变性，即(t)为严平稳随机过程。设有一相位调制的正弦信号，其复数表示式为其中，为常数，0,的二维特征函数，即同时对于任何t112 (U1，U2)E ejui (t1) U2 (0 (1,0)0。试证明过程(t)是宽平稳过程，并求它的(t) ej( t )( t )(t)是一个二级严平稳过程，设tl t2 (u1,u2)是过程 (t)相关函数R (t1 ,t2)。证明：首先，(t)的均值为
12、E (t)ej tEej (t)ej t t,t 1,0 ej t 0, 1,0 0(t)的相关函数为R (t/2) E馆)药e (t1 t2)Eej【(t1) Mej (t1 t2) t1,t2【1, 1因为 (t)是一个二级严平稳过程，所以t1,t2(1, 1)只与t1 t2有关。因此,(t)是宽平稳随机过程R (t1,t2)也只与t1 t2有关，且其均值为常数，所以设有一时间离散的马尔可夫过程(n)(n0,1,2, )。(0)具有概率密度函数2x (0 x 1)f(x)0(其它)对于n 1,2, 3,，当给定(n 1) x时(n)的条件概率密度均匀分布于(1-x,1)之间。问(n)( n 1,2,)是否满足严平稳的条件?解：对于任意一个马尔可夫过程和任意 m+个取样点，它们的联合概率密度函数有 如下性质m 1f (Xj, ,Xj m) f (Xj) f (Xj i 1 |Xj Ji 0对于本题，其中的f(xi 1 |xi)是不随时刻i变化的。若f(xj也是与时刻i无关的,则f(Xj, ,Xj m)在时间轴上做任意平移时是不变的，那么该过程是严平稳的。因此, 只需要证明f(Xj)与时刻j无关首先，(1)的概率密度函数为fi yi1 yfi|o(y |x)fo(x)dxi 12xd x 2y1 yxy 1)由此可见，的概率密度函数与(0)的概率密度函数相同
