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1、第8章 磁场数学技巧|磁场中的几何知识1概述高中物理要求学生具备数学知识解决物理问题的能力当带电粒子在磁场中运动时，主要应用平面几何知识，这部分数学知识理解并不困难，关键是灵活的运用常用的数学知识有：勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角函数，对称性分析，圆的常用几何性质等2关键点该类问题的关键点是确定圆心，找出半径和确定圆心角，常有三种情况：(1)已知粒子两个速度的方向时，画两个速度方向的垂线，交点即圆心，因为这是两处洛伦兹力的方向交点；(2)已知粒子在某点的一个速度方向，还有过该点粒子轨迹上的一条弦时，作弦的中垂线，中垂线和速度垂线的交点，即为圆心；(3)已知粒子的一个速度方向
2、和粒子运动的轨迹半径R时，在这个速度的垂线上，通过垂足找出一个半径R的长度，便可以找到圆心如图81所示，纸面内有E、F、G三点，GEF30，EFG135.空间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外先使带有电荷量为q(q0)的点电荷a在纸面内垂直于EF从F点射出，其轨迹经过G点，再使带有同样电荷量的点电荷b在纸面内与EF成一定角度从E点射出，其轨迹也经过G点两点电荷从射出到经过G点所用的时间相同，且经过G点时的速度方向也相同已知点电荷a的质量为m，轨道半径为R，不计重力求：图81(1)点电荷a从射出到经过G点所用的时间；(2)点电荷b的速度的大小【思路导引】【规范解答】(1)设点电
3、荷a的速度大小为v，由牛顿第二定律得qvBm由式得v设点电荷a的运动周期为T，有T如图，O和O1分别是a和b的圆轨道的圆心设a在磁场中偏转的角度为，由几何关系可得：90故a从开始运动到经过G点所用的时间t为：t.(2)设点电荷b的速度大小为v1，轨道半径为R1，b在磁场中的偏转角度为1，依题意有：t由式得：v1v由于两轨道在G点相切，所以G点的半径OG和O1G在同一直线上由几何关系和题给条件可得160R12R联立解得v1.【答案】(1)(2)突破训练1如图82所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质
4、量为m，带电量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行【导学号：96622155】图82(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？【解析】(1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1，又qv1Bm得v1.(2)如图所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R2，则由几何关系有(2rR2)2Rr2可得R2，又qv2Bm，可得v2故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过.【答案】(1)(2)物理方法|带电粒子在交变电
5、、磁场中运动问题的解法带电粒子在交变复合场中的运动问题的基本思路：如图83甲所示，在光滑绝缘的水平桌面上建立一xOy坐标系，水平桌面处在周期性变化的电场和磁场中，电场和磁场的变化规律如图乙所示(规定沿y方向为电场强度的正方向，竖直向下为磁感应强度的正方向)在0时刻，一质量为10 g、电荷量为0.1 C的带正电金属小球自坐标原点O处，以v02 m/s的速度沿x轴正方向射出已知E00.2 N/C、B00.2 T求：(1)1 s末金属小球速度的大小和方向；(2)12 s内，金属小球在磁场中做圆周运动的周期和半径；(3)6 s内金属小球运动至离x轴最远点时的位置坐标图83【规范解答】(1)在01 s内
6、，小球在电场力作用下，在x轴方向上做匀速运动，vxv0，在y轴方向做匀加速直线运动，vyt11 s末小球的速度v12 m/s设v1与x轴正方向的夹角为，则tan 1故45.(2)在12 s内，小球在磁场中做匀速圆周运动的周期T1 s由洛伦兹力公式得qv1B0解得R1 m.(3)如图(a)所示，在5 s内，小球部分运动轨迹可视为一条连续抛物线由匀变速直线运动规律知x方向上 x3v0tvxv0y方向上y3at2a，vy3at5 s末时小球的速度v2 m/stan 3(为v与x轴的夹角)在56 s内，小球在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有R如图(b)所示，设离x轴最远点G的坐标为(x，
7、y)，则xx3x2，yy3y2其中x2Rsin ，y2R(1cos )由上述各式可得x my m.【答案】见解析突破训练2如图84甲所示，互相平行且水平放置的金属板，板长L1.2 m，两板距离d0.6 m，两板间加上U0.12 V的恒定电压及随时间变化的磁场，磁场变化规律如图乙所示，规定磁场方向垂直纸面向里为正当t0时，有一质量为m2.0106 kg、电荷量q1.0104 C的粒子从极板左侧以v04.0103 m/s的速度沿与两板平行的中线OO射入，g取10 m/s2、取3.14.求：甲乙图84(1)粒子在01.0104 s内位移的大小x；(2)粒子离开中线OO的最大距离h；(3)粒子在板间运
8、动的时间t；(4)画出粒子在板间运动的轨迹图【解析】(1)由题意知：Eqq2.0105 N而mg2.0105 N显然Eqmg故粒子在01.0104 s时间内做匀速直线运动，因为t1.0104 s，所以xv0t0.4 m.(2)在1.01042.0104 s时间内，电场力与重力平衡，粒子做匀速圆周运动，因为T1.0104 s故粒子在1.01042.0104 s时间内恰好完成一个周期的圆周运动由牛顿第二定律得：qv0B，R0.064 mh2R0.128 m0)射入磁场区域不计离子所受重力及离子间的相互影响图中曲线表示离子运动的区域边界，其中边界与y轴交点为M，边界与x轴交点为N，且OMONL.图8
9、5(1)求离子的比荷；(2)某个离子在磁场中运动的时间为t，求其射出磁场的位置坐标和速度方向【规范解答】(1)离子沿y轴正方向进入，则离子从N点垂直射出轨道半径r0.5L离子在匀强磁场中做匀速圆周运动qvBm则(2)带电粒子做匀速圆周运动周期T设离子在磁场中运动轨迹对应圆心角为2300其轨迹如图所示，则出射位置为x2rsinLsin 所以离子射出位置的坐标为速度方向与x轴正方向成30.【答案】(1)(2)与x轴正向成30角突破训练3(多选)(2017常州模拟)如图86所示，在正方形区域abcd内有沿水平方向的、垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电荷量为q的离子垂直于EF自O点沿箭头方向进入磁场当
10、离子运动到F点时，突然吸收了若干个电子，接着沿另一圆轨道运动到与OF在一条直线上的E点已知OF的长度为EF长度的一半，电子电荷量为e(离子吸收电子时不影响离子的速度，电子重力不计)，下列说法中正确的是() 【导学号：96622156】图86A此离子带正电B离子吸收电子的个数为C当离子吸收电子后所带电荷量增多D离子从O到F的时间与从F到E的时间相等AB根据左手定则可知离子带正电，选项A正确；正离子在吸收电子之前的半径由半径公式得R，正离子吸收若干电子后轨道半径由半径R变为2R，可得2R，解得n，选项B正确；离子原来带正电，当离子吸收电子后所带电荷量减少，选项C错误；由于离子电荷量改变，根据周期公
11、式T可得，周期变了，因此离子从O到F的时间与从F到E的时间不相等，选项D错误高考热点2|带电粒子在复合场中的运动1高中阶段所涉及的复合场有四种组合形式，即：电场与磁场的复合场；磁场与重力场的复合场；电场与重力场的复合场；电场、磁场与重力场的复合场2带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，带电粒子做匀速直线运动(如速度选择器)；当带电粒子所受的重力与电场力等值、反向，由洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动；当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度的方向不在
12、一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，运动轨迹也随之不规律地变化因此，要确定粒子的运动情况，必须明确有几种场，粒子受几种力，重力是否可以忽略在地面上方某处的真空室里存在着水平向左的匀强电场，以水平向右和竖直向上为x轴、y轴正方向建立如图87所示的平面直角坐标系一质量为m、电荷量为q的微粒从点P由静止释放后沿直线PQ运动当微粒到达点Q(0，l)的瞬间，撤去电场同时加上一个垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度的大小B，该磁场有理想的下边界，其他方向范围无限大已知重力加速度为g.求：图87(1)匀强电场的场强E的大小；(2)撤去电场加上磁场的瞬间，微粒所受合外力的大小和方向；(3)欲使
13、微粒不从磁场下边界穿出，该磁场下边界的y轴坐标值应满足什么条件？【规范解答】(1)由于微粒沿PQ方向运动，可知微粒所受的合力沿PQ方向，可得qEmgcot 由题意知60解得Emg.(2)微粒在电场中的运动可视为两个分运动的合成：水平方向在电场力作用下的匀加速直线运动；竖直方向在重力作用下的匀加速直线运动，加速度为g.到达Q点的竖直分速度为v2，则v2gl，得v2水平分速度v1v2tan 30撤去电场加上磁场的瞬间，微粒受洛伦兹力，可根据速度的分解，视为两个分速度对应的洛伦兹力的分力的合成对于水平分速度v1，其所对应的洛伦兹力的大小为f1，方向竖直向上，f1qv1Bqmg即与重力恰好平衡对于竖直分速度v2，其所对应的洛伦兹力的大小为f2，方向水平向左，此力为微粒所受的合力Ff2qv2Bqmg.(3)如果把微粒的运动看做水平方向速度为v1的匀速直线运动与另一个分运动的合成，那么微粒受到的洛伦兹力的一个分力恰与重力平衡，另一个分运动就是微粒在洛伦兹力的另一个分力作用下的匀速圆周运动开始时速度为v2，方向竖直向下qv2Bm解得半径
