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1、年级高一单元第二章课题2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义主备授课个人修改集体备课达成目标核心问题平面向量数量积的物理背景及其几何意义，教学三维目标1.知识与技能（1）理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；（2）掌握平面向量数量积的性质与运算律；（3）会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，（4）掌握向量垂直的条件.以及用数量积判断两个平面向量的垂直关系；2.过程与方法本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义
2、，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。教学重难点重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的垂直关系。难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学重难点突破通过学生的自主探究，小组合作探究，教
3、师点评等环节完成本节知识的学习课前准备学生预习完成学案。实物投影仪，多媒体课件。集体一备教学环节设计个人二次备课课后三备情景引入 物理中的例子 1. 回忆物理问题问题1：物理中力对物体所做的功是什么？功是力与力的方向上位移的乘积.问题2：给出图示，如何计算“功”？通过物理做功引入引导学生思考FS【设计意图】由学生所熟悉物理中的“功”开始这节课，以物理问题为背景，使学生初步认识向量的数量积，为引入向量数量积的概念做铺垫。2.引入新课既然功的大小只与力的大小，位移的大小及它们的夹角有关，而力与位移都是矢量，在数学中叫做向量，那么我们可以引入一种新的运算，用来替代，这就是平面向量的数量积，这就是我们
4、要学习的2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义。3.展示学习目标（1）理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；（2）掌握平面向量数量积的性质与运算律；（3）会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，（4）掌握向量垂直的条件，以及用数量积判断两个平面向量的垂直关系。【设计意图】学习目标的展示让学生明确本节课的学习任务，从而做到心中有数。一、新课讲授1.向量数量积的概念明晰已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即问题3：向量的夹角的范围；说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；【（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的
5、.范围0q180问题4：平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响向量的数量积大小的因素是什么？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bca = c 如右图：ab = |a|b|c
6、osb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc 但a c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共【设计意图】引导学生分析定义中的要点内容，明确数量积这一种新运算与之前所学的向量的线性运算的区别，运算结果是一个数量。2、投影的概念 作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|
7、.在方向上的投影为，在方向上的投影为.问题5：向量的数量积和投影都是数量，它们什么时候为正(positive)，什么时候为负(negative)，是否可能为零呢？学生分为两大组分别完成例1中的任务一（男生组）与任务二（女生组）：例1：计算以及在方向上的投影（为与的夹角）.任务 一03090120180投影数量积任务 二06090150180投影数量积当时，；当时，；当时，.问题6：你从表格中还发现了什么？你发现数量积与在方向上的投影有什么关系吗？3数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.物理中“功”的数学本质是力与位移的数量积.【设计意图】通过例1,一方面让学生练习计算数量积
8、与投影，巩固所学新知；另一方面让学生通过自己的动手动脑总结归纳出问题6的答案，进而教师又提出新的问题，引导学生观察并发现数量积与投影之间的关系，从而得出数量积的几何意义，再联系课前引入得出“功”的数学本质.4.探究数量积的性质与运算律教师通过多媒体出示问题，让学生联系数量积的定义进行自主探究寻找答案，之后由学生回答，教师点评，并说明这就是数量积的性质。问题7： 当与同向时，=？ 当与反向时，=？ 或 （什么时候取等号？）问题8：我们知道实数乘法满足交换律、结合律、分配律，数量积是一种运算，那么类比实数乘法，数量积能满足哪些运算律？你能推导出向量数量积下列运算律吗？；. 对于的证明较为简单，学生
9、可以完成；对于，若按照数量积的定义展开会出现困难教师给学生提示，可以结合数量积的定义及向量的数乘运算对和两种情况下分别证明；的证明有难度，由师生共同完成。、的证明较简单，学生尝试证明，教材中的例题。【设计意图】学习过数量积的概念，学生有能力完成性质的探究，因此要发挥学生的主观能动性进行自主学习；对于数量积的运算律，教师先给出它所满足的运算律，由学生小组讨论试着进行证明，学生展示过程中出现的问题及时指出，学生证明有困难时，师生合作共同完成。二. 运用所学，解决问题1、典例剖析学生完成例题1、例题3、例题4补偿训练：1变式题：已知，求与的夹角？2（合作探究）：已知向量夹角为且则_解： 即 夹角为4
10、5 功 解得，（舍去）三、课堂训练基础练习：课本106页 1、2、(1,2题进行口答)综合测评：向量的夹角为60，则_答案： 在中，若则的形状为_ 答案：直角三角形 四、课堂小结学生谈收获教师总结：本节课共学习三个内容平面向量数量积的定义与物理意义、几何意义；平面向量数量积的性质；平面向量数量积的运算律。在学习新知的过程中还渗透着数学思想方法的学习，如数形结合，类比等。五、达标测试：1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）A.60 B.30 C.135 D.2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）A.2 B.2 C.
11、6 D.123.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|a-b|= .4.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么ab= .5.已知ab、c与a、b的夹角均为60，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)_.6.已知|a|=1，|b|=，(1)若ab，求ab；(2)若a、b的夹角为，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.作图演示引入新课展示目标引出向量数量积向量夹角分析说明加强对数量积的理解投影概念引出新问题学生训练总结结论数量积的几何意义归纳出性质探究运算律引导分析巡视点评补
12、偿训练训练纠错总结本节课内容出示达标测试题巡视了解观察图形思考带着物理知识思考向量的数量积的概念学生读目标带着目标去学习学生说出思考理解进一步理解数量积通过图示理解投影通过分组计算得出规律学生理解思考并总结探究并记忆运算律三生板演纠错点评通过补偿训练巩固训练巩固收获了哪些自我测评对照答案纠错作业分层必做作业：教材108页2题选做作业：教材108页3题挑战作业：已知向量与夹角为45，当向量与夹角为锐角时，求实数的取值范围.板书设计2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义基础知识点拨 典例剖析 训练题组 副版1、定义 例1 1.2、性质 例2 2.3、运算律 例3 3. 例4 4.检查评价检查人签字
