《2 第二章应力和应变.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2 第二章应力和应变.doc（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。2.1 应力的表述应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量来规定。在方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量表示。在
2、相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即。t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。在流体的情况下，没有剪应力，这里P是压强。上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量在笛卡尔坐标系（图2.1）里可以用作用于平面的牵引力来定义： （2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量。应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则
3、沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。下面讨论下角标颠倒后与颠倒前的值的关系。我们考虑xz面上在y轴方向延伸单位长度1的小微元立方体，在z方向的边长为，在x方向的边长为，如图所示，右边的的外法线方向与x轴一致，因此沿z方向为正，而左边的的外法线方向与x轴相反，逆z方向为正。的分析与此分析类似。绕y轴的顺时针转动力矩为，逆时针旋转的力矩为，由于弹性体内部的微元不可能发生转动，因此两者必须相等，因此有。类似地有：。故应力张量是对称的，即： （2.2）应力张量只包含6个独立的要素，它们足以完全描述介质中一个给定点的应力状态。 2、任意一个面上的应力可
4、以由应力张量表示 一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态，则其必须能够表达通过该点的任意斜截面上的应力矢量。 为了说明这一问题，在O点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四面体单元，斜截面的法线方向矢量为n，它的三个方向余弦分别为l，m和n。 设斜截面上的应力为pn，i，j 和 k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量，pn在坐标轴上的投影分别为px, py, pz。则应力矢量可以表示为 pn = pxi+ py j+ pz k设S为ABC的面积，则 OBC=lS, OCA=mS, OAB=nSABC的法线方向的单位矢量可表示为 n = l i+ m j + n k微分四面体在应力矢量和
5、体积力作用下应满足平衡条件。由x方向的平衡，可得注意，取负是因为外法线方向与作用面的方向相反。将公式代入上式，有 从而 同理 如果采用张量记号，则上述公式可以表示为 上式给出了物体内一点的9个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力之间的关系。这一关系式表明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面的应力矢量，或者正应力和切应力。因此应力分量可以确定一点的应力状态。任一个取向由定义的平面，一个侧面作用于另一个侧面的牵引力为应力张量与的乘积，即： （2.3）这可以通过对由垂直于的平面和平面所围限的四面体（柯西四面体）面上的力求和作出说明。简单地说，应力张量是给出相对于法向矢量的牵引力矢量t的线性
6、算子，从这个意义上来说，应力张量与任何特定的坐标系无关。在地震学中，我们几乎总是把应力张量写成笛卡尔几何学里的一个的矩阵。注意到对称的要求，应力张量的独立参数由9个减少为6个，呈现为最一般形式的二阶张量（标量为零阶张量，矢量为一阶张量，等等）。应力张量通常随在物质里的位置而变化，它是作用在固体里每一点的无限小的面上的力的度量。应力只给出了这些面由一边作用于另一边的力的度量，计量标准是单位面积上的力。然而，可能有其他力（如重力）。这些力称为体力，计量标准是每单位体积或单位质量上的力。2.1.3坐标变换如果一处的应力状态为，而其他元素为零，将其旋转45度后的应力状态为 不同坐标系下的应力状态表示一
7、点的应力分量不仅随着变形体中点的位置在改变，而且即使在同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不一样。假设已知在坐标系Oxyz中，弹性体中的某点的应力状态表示为：则对于新的坐标系Oxyz，这点的各应力分量是多少就是本小节讨论的问题。设新旧坐标系的方向余弦表如下：xyz根据（2.3）可知，沿的应力可以表示为：此应力有三个分量，将其再投影到方向即得到在新坐标系中的各分量,将应力矢量与点乘即可得到： 所以由上面的分析可知一个斜面上的正应力可以表示为：其剪应力为：2.1.4主应力和应力主轴对任何应力张量，总是可以找到一个方向，使得在垂直于的面上，没有剪应力，也就是说，沿方向，在这种情况下： （2
8、.4）这里I是单位矩阵，是标量（不要把这些值同后面将讨论的拉梅参数相混淆）。这是一个本征值问题，只有 （2.5）才有非零解。由于是对称的，是实数，所以本征值也是实数。的左端为的三次多项式，在线性代数中为矩阵的特征多项式。令其等于零，得到三个本征值的解。将这三个解分别代入（2.5）就可以得到相应于三个本正值的本征矢量为，它们是正交的，在弹性力学中称这三个方向为应力主轴。垂直于应力主轴的平面叫做主平面。我们通过相似性变换，把旋转到 的坐标系里： （2.6）这里是旋转的应力张量，是主应力（与本征值相等），N是本征矢量矩阵： （2.7）为归一化到单位长度的正交的本征矢量。 在MATLAB中矩阵的本征值
9、和本征向量的求法为：X,D=eig(sigma);其中sigma为三维应力矩阵，X为三个本征向量，D为本征值矩阵。得到本征向量和本征值后，你可以采用X*sigma*X得到的结果验证是否是向量矩阵。如果，那么应力场处于流体静压状态，没有任何取向的面有剪应力。在流体的情况下，应力张量可写成： （2.8）这里P是压强。 对于垂直应力不变的应力状态,其水平方向不同的应力状态可以表示为：，其主应力方程可以表示为，或者展开为，解这个方程可得到三个主应力为：及2.1.1 应力值应力以单位面积上的力为计量单位，在国际单位制（SI）中的单位是：回顾一下，达因。另一个普遍采用的力的单位是巴：如表2.1用参考模型P
10、REM（Dziewonski和Anderson，1981）所给出的值所示，在地球里压力随深度快速增大。在400公里的深度，压力达到13.4Gpa，在核幔边界达136Gpa，在内核边界达329 Gpa。与此对比，月球中心的压力仅为4.8 Gpa，相当于在地球150公里深度所达到的值（Latham等人，1969），这是由于月球的质量小得多。表2.1 地球内部压力与深度的关系深度（公里）区 域压力（Gpa）0-24地 壳0-0.624-400上地幔0.6-13.4400-670过渡区13.4-23.8670-2891下地幔23.8-135.82891-5150外 核135.8-328.95150-6
11、371内 核328.9-363.9这些压力是地球内部的流体静压力。深部的剪切应力值小得多，包括与地幔对流有关的应力和由地震波传播所产生的动态应力。静态应力可能存在于地壳上部脆性部分。测量地壳剪应力是现代研究的课题。应力的量级是有争议的问题，地壳应力可能在100巴和1000巴（10-100 Mpa）之间，在接近活动断层的区域，应力有降低的趋势（活动断层的作用降低了应力）。2.2 应变张量2.2.1 位移场表示现在让我们来考虑怎样描述连续介质里点的位置的变化。任何一点与参考时间的相对位置都可以用一个矢量场来描述，即位移场为： （2.9）这里r是现在的位置，是参考点的位置。位移场是一个重要的概念，在
12、这本书中经常涉及到。它是位置变化的绝对度量。与此相对照，应变是位移场相对变化的局部度量，即位移场空间梯度的度量。应变与材料的变形或形状的变化有关，而与位置的绝对变化无关。例如，张应变是按照长度的相对变化来定义的。如果把一根100米长的细绳，一端固定，在另一端均匀地拉长到101米，那么沿细绳位移场从0变化到1米。依此，在绳的任何地方，应变场为0.01（1%）的常数。考虑离开参考位置一个小的距离的某一点的位移，对u的每一个分量作泰勒级数展开，有：写成矩阵形式得到： （2.10）这里，假定偏导数等很小，它们的乘积可以忽略。那么，根据无限小应变理论，我们就可以忽略展开式中的高阶项。庆幸的是在地震学中地
13、球的应变几乎总是很小的，以致于这种近似是恰当的。我们可以通过把J 分成对称和反对称部分，把刚性旋转部分分离出来： （2.11）这里应变张量e是对称的，可表达为： （2.12）这里旋转张量是反对称的，可表达为： （2.13）读者可对作检验。2.2.2物理解释为简单起见，考虑平面的几何问题来讨论形变分量和位移之间的关系。如图，经过弹性体内的任意一点P，沿x轴和y轴的正方向取两个微小长度的线段PA=dx,PB=dy。假定弹性体受力后，P,A,B分别移到P,A,B。首先考察线段PA和PB的线应变，设P在x方向的位移为u，则A点在x方向的位移将是,在y方向的位移为；B点在x方向的位移将是,在y方向的位移
14、为。则PA线段的线应变为其伸长增加量与其长度之比，为,同理，PB线段的线应变为。 对于上述二维情况，若以PA,PB看做是矩形的两个边，其面积为dxdy,则变形后的PA的长度为(忽略其他高阶小量)，PB的长度为(忽略其他高阶小量)，则小体积元的面积趋于零时，面积增量与原来面积的极限为： 同样的，对于三维情况，可以得到体积增量和原来体积之比的极限为： 因此（2-12）式对角线元素之和为为体应变。 在线性代数中表示为的迹。注意，膨胀是由位移场的散度给出的。 现在考察线段PA与PB之间的直角的改变，该改变量有两部分贡献：一部分为由y方向的位移v引起的，即x方向的线段PA的转角，另一部分为由x方向的位移u引起的，即y方向的线段PB的转角.由图的关系不难看出： 。在三维情况下也具有同样道理。因此e矩阵中的对角线元素为线应变，非对角线元素为线段偏转角度之和的一半（采用弧度表示）。 yFig 3参考上图，一个质点Py、z向
