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1、辽宁省沈阳市第十五中学2020年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 利用圆锥曲线与直线相切的条件估测天体轨道摘要圆锥曲线是高中数学教学的重点之一，也是竞赛和高考的重点与热点，圆锥曲线与直线是否相切便是解决这些难题的基础之一。判断两条线是否相切不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用相切的特性往往能更简捷地使问题得到解决。本文拟通过平面内圆锥曲线与直线相切的条件和三维空间内圆锥曲线与直线相切的条件，这两个方面来探讨圆锥曲线与直线相切的条件，并将此应用到天文领域，为预警小行星撞击地球提供较为可靠的方法。关键词：圆锥曲线，相切，小行星，万有引力一、研究背景与研究目的2020年2月16日，小行星
2、2020DA14近距离从地球旁边掠过，最近时刻是在北京时间凌晨3:25，距离地球仅27680公里，这一距离已经低于同步卫星的轨道。由于报告得晚，所幸未所以如何在短时间内计算出小行星是否有进入地球引力圈的可能性显得尤为重要。尽管这次地球幸免遇难，但据NASA估计每隔5年到30年就会有一颗类似的小行星光临地球。谁也不知道下一个是否会导致新的物种大灭绝。况且，在莫斯科时间2020年2月15日有一颗直径约15米，质量约7千公吨陨石坠落在俄罗斯的车里雅宾斯克州的切巴尔库尔湖，造成1500多人受伤，这更给人敲响了警钟，怎样在最短时间内获悉天体未来的运动轨迹已是重中之重。而即使多个国家已启动检测小行星和彗星
3、的计划，但由于全球合作的缺失，这些计划仍是一盘散沙，所以发动天文爱好者观测天体成了不错的选择但又缺乏相关的知识。本文拟通过平面内圆锥曲线与直线相切的条件和三维空间内圆锥曲线与直线相切的条件，这两个方面来探讨圆锥曲线与直线相切的条件，并将此应用到天文领域，为预警小行星撞击地球提供较为可靠的方法。图1. 事后绘制的小行星2020DA14运行轨迹二、研究原理与内容近年来，对可能会对地球产生威胁的小行星的观测已成为热潮，不仅在科学家们中泛滥，很多天文爱好者也加入这一行列。由于国际间的交流并不多，很多小行星的来源都是普通的天文爱好者。但这些人发现之后又不能立即计算出小行星轨道并发现情况报告。出于对天文爱
4、好者的考虑，本文将致力于探索一条全新的路，给予天文爱好者更加宽广的星空视野，以及更加直观地观测星系。 首先研究平面内圆锥曲线与直线相切的条件，尽量避免使用较为复杂的运算方法，并针对不同的情况采取不同的运算方法。 其次研究空间内圆锥曲线与直线相切的条件，并加入对万有引力的考虑。 最后是针对特定小行星的实际应用，将采用实际的小行星实例来验证理论。三、研究成果3.1平面内圆锥曲线与直线相切的条件例1：（1）以（0，0）为圆心，半径为1的圆是否与直线相切？（2）以（0，0）为圆心，半径为1的圆是否与直线相切？图2. 初始窗r=1,y=x-2.5图3. 初始窗放大一次后r=1,y=x-2.5图4. 初始
5、窗r=1,y=x-2图5. 初始窗放大一次后r=1,y=x-2从比例尺较大的图片上来看，这两条直线似乎都与圆相切，但当缩小比例尺后，y=x-2.5并不与圆相切。但判断平面内圆是否与直线相切并不能用不停地放大如此定量的方法，特别是当y=x-（2+），这是完全无法判断出来的。我们必须采用定性的方法来解决。3.11比较半径和直线到原点的距离判断过（4，0），（0，-3）的直线是否与以O为圆心，半径为2.4的圆相切？图6. 把（4，0），（0，-3）输入表格首先把两个坐标输入统计，得到一条直线BCA图7. 过（4，0），（0，-3）的直线和r=2.4的圆设（4，0）为A，（0，-3）为B，过O做AB垂
6、线，交AB于C易得AB=5，所以OC=2.4=r所以过（4，0），（0，-3）的直线与以O为圆心，半径为2.4的圆相切至此，可以得到第一种判断平面内圆锥曲线与是否直线相切的方法：在同一平面内，以圆的圆心为O点，建立平面直角坐标系，求出直线与x轴和y轴的交点，再以三角形面积公式求出O点到直线的距离，并把距离与圆的半径进行比较，若相同则圆与直线相切。那么，还有没有其他的方法呢？3.12判断点是否在圆的切线上利用CG20在图形里作切线的功能，做出过（0，3）的两条切线y1=0.75x-3y2=-0.75x-3由于（4，0）在x轴的正半轴上所以y2舍去把x=4代入y1，得到y=0所以过（4，0），（0
7、，-3）的直线与以O为圆心，半径为2.4的圆相切图8. 过（0，3）的两条切线至此，可以得到第二种判断平面内圆锥曲线与是否直线相切的方法：在同一平面内，以圆的圆心为O点，建立平面直角坐标系，求出过其中一点的两条直线的方程，再把另一点的横坐标带入，若纵坐标与求出的y的值相同则圆与直线相切。3.13判断椭圆与直线相切的条件判断以（0，0）为中心的长轴为4，短轴为2的椭圆是否与直线y=0.5x-2相切？图9. 以（0，0）为中心的长轴为4，短轴为2的椭圆与直线y=0.5x-2 在计算器上我们做出如此图案，虽然乍一看确实是在相切，但还是需要定性计算一下。由于圆锥曲线说到底并不算函数，但又无法在G坐标系
8、里画一次函数，所以在这里引进一种特殊的方法。平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，但椭圆又可以看成是拉长了的圆，因为圆是特殊的椭圆。现在，把这个平面直角坐标系的横坐标缩短一半，也就是说所有点的横坐标变成原来的一半，原先的椭圆变成半径为1的圆，原先的直线y=0.5x-2变成直线y=x-2，然后就得到了以下图案：图10. 缩放后的原椭圆和原直线由于是修改整个的平面直角坐标系，所以对解题的没有影响。而这就是我们熟悉的圆与直线相切的问题，自然就迎刃而解了。由于球是在绕太阳公转的，天体即使进入地球的轨道也不一定会和地球碰撞。所以还要考虑动点的问题。3.
9、14判断动点是否会重合设有一个逆时针绕O点运动的点，与O点的距离始终是1，在0时刻坐标是（0，-1），速度为9/秒，另有一点沿着直线y=t-2运动，在0时刻坐标是（0，-2）。求二点是否重合。图11. 直线y=x-2与r=1的圆我们做出直线y=x-2与r=1的圆的图案，发现二者有交点，但由于是动点，这种方法无法准确地判断相切。这里就需要用到动态图像。图12. 当t=1时图13. 当t=2时图13. 当t=3时从图像上来看，是不重合的。但这并非定性运算。其实只要计算一下当其中一个点在交点上时，另一点在不在交点上就可以了。当红点转到45度时，即x=5，坐标为（2/2，-2/2）蓝点的坐标为（5，5
10、-2）所以，两点不会重合3.2三维空间内圆锥曲线与直线相切的条件三维空间内圆锥曲线与直线相切的问题就和生活中的实际应用息息相关了。比如说小行星是否撞地球，就可以建立理想化的模型进行计算。图14.空间内速度分解示意图首先需要将空间内的速度转化为平面内的速度，是一个三维速度分成三个速度平面内的速度。当然如果是小行星特别接近的时候，可以近似地看成在同一平面内。我们就可以利用三维空间内圆锥曲线与直线相切的办法来判断小行星是否会撞地球。这张图片是小行星2020DA14近距离从地球旁边掠过时的轨迹，在离地球较远处也就是受万有引力较小的时候，可以看成是一条直线，通过量化地球的直径和重力场进行数学建模计算，小
11、行星是否有可能对地球造成威胁。而对于长轴并未与x轴重合的图形我们可以翻转图形，或者依据长短轴重新建立平面直角坐标系。图15. 在翻转后的小行星轨迹上绘点用一次回归得到过两点的直线图16. 对点进行一次回归y1.689x+4.030长轴为4.376，短轴为4，长轴是短轴的约1.09倍，所以y=1.841x=4.030所以通过计算，小行星会进入地球同步轨道。3.3应用2020 TC3小行星尺寸约4米，重约80吨。于撞击前一日，也就是10月6日偶然间被发现。此后小行星便极难再被观测到。 两批来自美国和加拿大的天文爱好者都独立计算出了小行星的飞行轨迹，发现它正向地球飞来。因此这颗小行星得到了世界范围内
12、广泛的关注。在小行星被发现数小时后，国际小行星中心所在的哈佛-史密松天体物理中心宣布，这颗小行星2020 TC3有99.8%-100%的概率将于2020年10月7日凌晨2:45(UTC)与地球相撞。而NASA则将估计时间精确到2:45:28(UTC)。与以往被动观测不同，此次是天文学家首次成功对小行星撞击地球做出提前预报。虽然只提前了一天，但也好在这颗小行星速度并不快，有充足的时间进行计算和预测。但倘若当发现得很晚，速度又很快呢？这里就需要一种简便有效的预测方法。图17. 2020 TC3的轨迹首先，假定现在是2：00，把已有小行星轨迹导入CG-20，进入教学探索模式。然后，调整图片位置，原点
13、放置在轨迹开始受地球引力，变轨之前。进入plot模式取两个点（在受地球引力之前视作直线运动）图18. 导入图像并取两个点 x1（0.14，0.64），x2（0.81，2.67）图19. 对点进行一次回归因为球心的位置在（0，-2），所把球心移至（0，0），以方便计算，球半径r约为0.47。并把函数复制到图形函数里。得到下面的这张图：图20.把图片在图形函数里简化看样子，这颗小行星并不会与地球相撞。但不要忘了，宇宙空间里是有引力场的。所以，地球与小行星之间的引力还要算一下。万有引力公式为F=G（m1m2/r2) （G=6.6710-11(注：10的-11次方）Nm2/kg2)地球的质量为5.97
14、1024 kg地球平均半径为6371千米，而r为0.47，则数值上R/r=13555.31915图21. 取一次函数的零点一次函数的零点在（-0.731330493，0），则零点与（0，2）之间的距离为2.129517384。那么0.7313304932=2.129517384h，推出h=0.6868509255。这样小行星离地球最近时距地心的距离为9310.483503千米，距地表2939.483503千米。所以，当小行星离地球最近时，它受到的万有引力=6.6710-11（5.97102480103/9310.4835032）=3.6749013241011N则小行星的加速度为4593626
15、.655m/s2假设在离地球最近之前，小行星不受地球引力则经过1秒后，小行星向地球靠近的距离=0.54593626.65512=2296813.327千米2939.483503千米所以小行星一定会撞上地球。四、展望由于天体之间存在万有引力，当两个天体比较接近的时候就会互相吸引，且万有引力与距离成负相关，此时小行星会一点一点偏离原有轨道且幅度越来越大，直至轨迹穿过黄道面。由于万有引力会随着距离变化，所以给小行星的加速度的大小方向都在变化。这就需要计算机的精确模拟，已不是一台计算器所力所能及的了。所以在下一步的研究中，计划研究运动中的天体之间的万有引力对小行星相撞的影响，并进一步地研究争取获得更为简便的方法。
