《从赤道发射打到北极点问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《从赤道发射打到北极点问题.doc（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1、（25分）从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R6400 km。已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为式中M为地球质量，G为引力常量。1.假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与地心O到发射点C的连线之间的夹角表示）。2.若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？3.试导出。答案 可圈可点试题搜索没有找不到得试题答案 1、参考解答：1.这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到N点，则此椭圆一定位于过地心O、
2、北极点N和赤道上的发射点C组成的平面（此平面是C点所在的子午面）内，因此导弹的发射速度（初速度v）必须也在此平面内，地心O是椭圆的一个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的C、N两点到焦点O的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过O点垂直CN的的直线，即图上的直线AB，椭圆的另一焦点必在AB上。已知质量为m的物体在质量为M的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量E（无穷远作为引力势能的零点）与椭圆半长轴a的关系为 （1） 要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，现C点到一个焦点O的距离是定值，等于地球的半径是R，只
3、要位于长轴上的另一焦点到C的距离最小，该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于C到AB的垂线的垂足处时，C到该焦点的距离必最小。由几何关系可知 （2）设发射时导弹的速度为v，则有 （3）解（1）、（2）、（3）式得 （4）因 （5）比较（4）、（5）两式得 （6）代入有关数据得v7.2 km/s （7）速度的方向在C点与椭圆轨道相切，根据解析几何知识，从椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角OCP，从图中可看出，速度方向与OC的夹角 （8）2.由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为 （9）式中R是地球的半径，T为地球自转的周期，T243600 s86400 s
4、，故 （10）C点速度的方向垂直于子午面（图中纸面）。位于赤道上C点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度vC，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足（7）、（8）两式的要求，导弹相当于地面（C点）的发射速度应有一大小等于vC，方向与vC相反的分速度，以使导弹在此方向相当于地心的速度为零，导弹的速度的大小为 （11）代入有关数据得v7.4 km/s （12）它在赤道面内的分速度与vC相反，它在子午面内的分速度满足（7）、（8）两式。3.质量为m的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和远地点有下列关系式 （13） （14）式中v1、v2分别为物体在远地点和近地点的速度，r1、r2为远地点和近地点到地心的距离。将（14）式中的v1代入（13）式，经整理得 （15）注意到r1r22a （16）得 （17）因 （18）有（16）、（17）、（18）式得 （19）
