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1、第五节利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离第五节 利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离一、 点到平面的距离FEGDCBA设A是平面外一点，B是内一点，为的一个法向量，则点A到平面的距离例1、 如图,已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD且GC=2，求点B到平面EFG的距离。例2、 在三棱锥S-ABC中，是边长为4的正三角NMSCBA形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，M、N分别是AB、SB的中点.（04福建）（1）证明ACSB;（2)求二面角NCMB的大小；（3）求点B到平面CMN的距离。PFEDCBA练习：已知ABCD是边长为1的正
2、方形，PD平面ABCD且PD=1，E、F分别是AB、BC的中点。(1) 求点D到平面PEF的距离；(2) 求直线AC到平面PEF的距离.二、 异面直线间距离设是异面直线a、b的公垂向量,C为a上任一点，D1DC1CB1BAA1D为b上任一点，则a、b间的距离。例3、 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a。（1） 求异面直线BD与B1C间的距离；（2） 求异面直线AA1与BD1间的距离。三、 证线面平行若a是平面外一直线,所在向量为，是的一个法向量，若，则.例4、 在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC，AC=3,BC=4，AA1=4，点D是AB的中点。（1） 求证：ACBC1；（2
3、） 求证：AC1平面CDB1；（3） 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。（05北京文）D1DC1CB1BA1A作业:1、如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a.（1）求异面直线AA1与B1D1间的距离；（2）求异面直线A1B与B1D1间的距离.2、如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直,且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。（1)求点O到平面ABC的距离；（2）求异面直线BE与AC所成的角;（3）求二面角E-AB-C的大小.(06江西)3、如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC1上的点，且
4、CN2C1N.（1）求二面角B1AMN的平面角的余弦值；（2）求点B1到平面AMN的距离。(06湖北文）DPECBA4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，PEEC. 已知求 （）异面直线PD与EC的距离； （）二面角EPCD的大小.（05重庆文）5、如图,在长方体ABCDA1B1C1D1，中,AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.(1）证明:D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；ED1DC1CB1BA1A（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为。6、如图，直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB,F为CE上的点，且BF平面ACE（1）求证：AE平面BCE；（2)求二面角B-AC-E的大小；EFBADC(3）求点D到平面ACE的距离。（05福建）7、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形，,侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G.（1） 求A1B与平面ABD所成角的大小；EGDC1CB1BA1A（2） 求点A1到平面AED的距离.（03全国)17
