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1、 线性代数第一章行列式 一、填空题 1.排列631254的逆序数(631254)= 8 .解: (631254)=5+2+1=82.行列式= -18 .解:D=132+213+213-333-111-222=-18 3、4阶行列式中含且带正号的项为_答案：分析：4阶行列式中含的项有和 而 的系数： 的系数：因此，符合条件的项是4、（互不相等）=_答案：分析：= 5.行列式中元素的代数余子式的值为 42解析: 元素的代数余子式的值为=(1) 76(1)=426.设,则代数余子式之和=0解析：=1+1+1=0 二、 单项选择题1、设，则的系数为（C）A. 1 B. 0 C. -1 D. 2解：的系
2、数为=-12、 设=m0,则=（B）A.12m B. -12m C.24m D. -24m解： =-4m =-4m =-12m 3. 行列式0的充分必要条件是（C）(A. )k-1 (B)k3(C)k-1且k3(D)k-1或k3因为原式=(k-1)(k-1)-40所以k-12且k-1-2所以k-1且k3所以答案为C4. 行列式中元素g的代数余子式的值为（B）（A） bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf=-(bcf-bde)=bde-bcf所以答案为B 5.设D=则=( )(A)-kD (B)-kD (C)kD (D)(-k)D答案:D解:由行列式性质
3、3:将的每行提出一个-k,得到(-k)D,即为选项D.6.行列式D=( )(A)50 (B)-(10!) (C)10! (D)9!答案:C解:由行列式的定义,每个因式的元素取自不同行不同列,且不为零,则每行依次取出1,2,10,得到10!.又因为36为偶数,所以结果为正数.最终结果为10!三、计算题1、计算行列式.解D=2、计算行列式.解、D= = 3.计算行列式解 = -64. 计算行列式解 =160 5. 计算n阶行列式=x+(n-1)ax+(n-1)a=x+(n-1)a 6.当k为何值时，方程组有非零解.解由题知D=-5(k-6)+33=0 得k= 四.解答题1.写出D=中第3列元素的余
4、子式和代数余子式的值，并求出D的值。解：M=-2 A=(-1) (-2)=-2 M=4 A=(-1)4=-4 M=6 A=(-1)6=6 D=-1(-2)+1(-4)+(-1)4=-82、用Cramer法则解线性方程组解D=-40且D=-40 D=-80 D=40所以=1 =2 = 五、证明题 1.设，试证： 又因为1,所以原式，所以证毕 2.设互不相同，证明：线性方程组 证：系数行列式为范德蒙行列式 因为,互不相同， 所以， 故该线性方程组有唯一解， 证毕 3、设=a, =b,证明： =72ab.解: =72由拉普拉斯展开定理可知=ab所以=72abB卷一、填空题1、已知=6，则=-2。解：
5、= =-3=6所以=-2. 2、 n阶行列式解原式 3、设,则余子式之和 =解=-28又= = 4.行列式D=解:D=x45.齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是解：因为齐次线性方程组只有零解所以方程组的系数行列式不为0即0又=）所以（）（）0所以 二、选择题1、如果=1，则行列式=( )(A) -6 (B) 6 (C) 4 (D) -4 答：B解：=62、=( )(A) 12 (B) -12 (C) 16 (D) -1答：A解：=12 3. 设f(x)=,则方程f(x)=的根的个数为（ B ）.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解：因为= =x=x=x(7-x)-6(x-2) 所以f
6、(x)=5x(x-1) 显然，使方程f(x)=0成立的根有0和1两个，所以答案选择B4. 若行列式 =m, =n,则行列式 =( C ) .(A) m+n (B)-(m+n) (C)n-m (D)m-n解：因为= = = + = m+n 所以答案选择C 5.x=-2是=0的（ D ）(A)充分必要条件 （B）既不充分也非必要条件（C）必要而非充分条件 （D）充分而非必要条件解析：原式=4x+-2-x+2-4=3+3x-6=0 解得=1,=-2 当x=-2时，行列式等于0 x=-2为充分条件 又行列式等于0时，x=1或-2 x=-2为非必要条件三计算行列式1.D=解原式= = 2. =+解=31
7、23. =解=2(xy)4.=解= 5. 解Dn 四、计算n+1阶行列式D解 五、计算n阶行列式.解、 = 六、证明：五阶行列式=证明： 七、解方程=0 解：原式八、已知齐次线性方程组，其中，试讨论和b满足何种关系时，方程组仅有零解？解：即且 C卷:一证明:(1)奇数阶反对称矩阵的行列式的值为零. (2)设A为n阶方阵，求.解 （1）设A是n阶反对称矩阵，其中n为奇数 由得: 解得：(2)且由（1）中结论可知：n不可能是奇数， 二、已知n（n3）阶实矩阵A=满足条件：（1）（i,j=1,2,n）,其中是元素的代数余子式；（2）0. 求.解：又 三、设n阶行列式的第一行元素全为1，证明：这个行列
8、式的全部元素的代数余子式之和等于该行列式的值。证明：=+=1+1+1=+又对任意2n，行列式全部元素的代数余子式之和为+，即行列式的值。得证。 五、设A是n阶対合矩阵（即A=E），|A|0,证明：|A+E|=0解：由题意得：因为A=E 两边取行列式得：|A|=|E|=1，所以|A|=1；又因为|A|0，所以|A|=1=E；所以|A+E|=|E+E|=0。即|A+E|=0证毕解(1)=所以 有小于1的根(2)(3) 六、设1，2，n是n个互不相同的数，b1，b2，bn是任意一组给定的数，证明：存在唯一的多项式c0xn-1+c1xn-2+cn-1，使得b，=1，2，n.证明：假设存在两个多项式 c0xn-1+c1xn-2+cn-1 d0xn-1+d1xn-2+dn-1 使得b，b则 即（d0in-1+d1in-2+dn-1）-（c0in-1+ d1in-2+cn-1）= 0（d0- c0）in-1+（d1- c1）in-2+（dn-1-cn-1）= 0互不相同不可同为0则 dn-1=cn-1则与假设矛盾故仅存在唯一c0xn-1+c1xn-2+cn-1使得使b，=1，2，n. 七若一个一元n次多项式=0有个不同的根，则解 设为互不相同的根，则，于是有该方程组的系数行列式（视为未知元）故该齐次线性方程组只有零解：，从而 八、求极限：解 =5+3+ =原式= = =4
