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1、 鸡兔同笼 第一部分：知识介绍鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一大约在年前，子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样表达的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有个头；从下面数，有只脚求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道子算经中是如何解答这个问题的吗？ 解鸡兔同笼的基本步骤1.砍足法（金鸡独立）：解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就由只变成了只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多。因此，脚的
2、总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即（只）显然，鸡的只数就是（只）了。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。除此之外，还有“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”。2.假设法：假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数3.鸡兔关系：当头数一样时
3、，脚的关系：兔是鸡的2倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的2倍。在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。第二部分：例题精讲例 1鸡兔同笼，头共，足共，鸡兔各几只？考点鸡兔同笼解析假设只都是兔，一共应有（只）脚，这和已知的只脚相比多了（只）脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把只鸡当成只兔，就要比实际多（只）脚，那么只脚是我们把（只）鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是，兔的只数是（只）。答案鸡28只，兔18只例 2动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有只眼睛和只脚，问：鸵鸟和大象各有 多少？考点鸡兔同笼解析由于每只动物有两只眼睛
4、，由题意知：动物园里鸵鸟和大象总数为：（只），假设鸵鸟和大象一样也有只脚，则应该有（只）脚，多了（只）脚，由假设引起的差值：（只），则鸵鸟数为（只），大象数为（头）。答案鸵鸟10只，大象8头例 3动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚只，鸵鸟比梅花鹿多只，梅花鹿 和鸵鸟各有多少只？考点鸡兔同笼解析假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的只的脚数得：(只)。这只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：(只)，所以梅花鹿的只数是：(只)，从而鸵鸟的只数是：(只) 答案鸵鸟48只，梅花鹿28只例 4一个养殖园，鸡比兔多36只，
5、共有脚792只，鸡兔各几只？考点鸡兔同笼解析已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有（只）脚，可知现在剩下（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有（只），鸡有（只）答案兔120只，鸡156只例 5鸡兔同笼，鸡、兔共有只，兔的脚数比鸡的脚数多只，问鸡、兔各多少只？考点鸡兔同笼解析不妨假设只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：（只），而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多只，而实际上只多只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：（只）。现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少只，鸡脚增加只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少（只）。鸡的只数：（只），兔的只数：（只）。 答案兔
6、45只，鸡62只例 6每只完整的螃蟹有2只鳌、8只脚。现有一批螃蟹，共有25只鳌，120只脚。其中 可能有多少缺鳌少脚的，但每只螃蟹至少保留1只鳌、4只脚。这批螃蟹最多有只，至少有只。考点鸡兔同笼解析若要螃蟹尽量多，那么螃蟹的鳌和脚要尽量少，光看鳌的话，鳌最少为1，螃蟹最多为25只，只看脚的话，脚最少为4，螃蟹最多为（只），所以螃蟹最多为25只，同理若要螃蟹尽量少，那么螃蟹的鳌和脚要尽量多，光看鳌的话，鳌最多为2，螃蟹最少为（只），只看脚的话，脚最多为8，螃蟹最少为（只），所以螃蟹最少为13只。答案螃蟹最多有25只，至少有13只例 7在一个停车场上，现有车辆辆，其中汽车有个轮子，摩托车有个轮子
7、，这些 车共有个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？考点鸡兔同笼解析假设都是三轮摩托车，应有(个)轮子，少了(个)轮子。每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少(个)轮子汽车有(辆)；从而求出三轮摩托车有(辆)，或者假设都是汽车，应有(个)轮子，多了(个)轮子；所以摩托车有(辆)答案摩托车有37辆。例 8（10年上外口试题）一数学试卷，只有道选择题做对一题得分，做错一题 倒扣分；如不做，不得分也不扣分。若小明得了分，那么他做对 题，做 错 题，没做 题。考点鸡兔同笼解析这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索。小明得了分，而且只有做对了题目才能得分。，所以可以知道小明至少做对道题目，否则一定
8、低于(分)；再假设他做对题，发现即使另外四题都错，小明仍然有(分)，超过了分，所以小明至多做对道题目；综上，可以断定小明做对了道题。至此此题转化为简单鸡兔同笼问题。假设剩下题全部没做，那么小明应得(分)。但是只得了分，说明又倒扣了分，说明错了道题，道题没做。所以小明做对了道题，做错了道题，没做道题。答案小明做对了道题，做错了道题，没做道题。例 9大、小猴共只，它们一起去采摘水蜜桃。猴王不在时，一只大猴一个小时可采 摘千克，一只小猴子一小时可摘千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论 大小每小时都可以多采摘千克。一天，采摘了小时，其中第一小时和最后一小 时猴王在监督，结果共采摘了千克水蜜桃。在猴群
9、中，共有小猴子多少只？考点鸡兔同笼解析其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔。但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消失。一天中，猴王监视了小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采千克，那样猴群只能采摘(千克)；这是一天也就是小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采(千克)；假设都是大猴子，应该每小时采摘(千克)，比实际多采了(千克)。而每只小猴子被假设成大猴子，会多采(千克)。因此可以求出小猴子有：(只)。答案小猴子有20只例 10箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的倍多只，每次从箱子里取出只 白球、只红球如果经过若干次以后，箱子里剩下只白球、只红球那么 箱子
10、里原有红球多少只？ 考点鸡兔同笼解析假设每次一起取只白球和只红球，由于每次拿得红球都是白球的倍，所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的倍多。由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是个。按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的倍多，即(只)。但是实际上最后剩了只红球，比假设多剩只，因为每一次实际取得与假设相比少只，所以可以知道一共取了(次)。所以可以知道原来有红球(只)。答案红球有158只例 11有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对(蜘蛛8条腿；蜻 蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？考点鸡兔同笼解析这是在鸡兔同笼基础上发展变
11、化的问题。观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数。我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为(条)，所差(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的。所以，应有(只)蜘蛛。这样剩下的(只)便是蜻蜓和蝉的只数。再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数(对)，比实际数少 (对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求(只)。答案蜻蜓有7只例 12从甲地至乙地全长45千米,有上坡路、平路、下坡路。强上坡速度是每小 时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到 乙地,强行走了10小时;从乙地到甲地,强行
12、走了11小时.问从甲地到 乙地,各种路段分别是多少千米？考点鸡兔同笼解析把来回路程452=90(千米)算作全程。去时上坡,回来是下坡；去时下坡回来时上坡。把上坡和下坡合并成一种路程,平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题。因此平路所用时间是 (90-421)(5-4)=6(小时)。单程平路行走时间是62=3(小时)。从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是45-53=30(千米)。又是一个鸡兔同笼问题。从甲地至乙地,上坡行走的时间是(67-30)(6-3)=4(小时)。行走路程是34=12(千米)。下坡行走的时间是7-4=3(小时)。行走路程是63=18(
13、千米)。答案上坡12千米，平路15千米，下坡18千米第三部分：课堂检测检测 1体育老师买了运动服上衣和裤子共件，共用了元，其中上衣每件元、 裤子每件元，问老师买上衣和裤子各多少件？考点鸡兔同笼解析假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：（件），上衣：（件）。答案上衣8件，裤子13件检测 2某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人已知这些宿舍中 共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？考点鸡兔同笼解析如果30间都是小宿舍，那么只能住（人），而实际上住了168人。大宿舍比小宿舍每间多住（人），所以大宿舍有（间）。答案大宿舍有24间检测 3春风小学3名同学参加数学竞赛，共10道题，答对一道
14、题得10分，答错一道题 扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华 得了9分，他们三人一共答对了_ 道题。考点鸡兔同笼解析三人共得(分)，比满分(分)少(分) 因此三个人共做错：(道)题，一共答对了(道)题。答案一共答对了20道题。检测 4某场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共400，甲类票50元，乙类票 40元/，丙类票30元/，共收入15500元，其中乙类、丙类门票数相同 则甲类、乙类、丙类门票分别售出多少?考点鸡兔同笼解析乙类、丙类门票数相同，则可以看成价格为35元的同一类门票。 容易得到甲类门票售出（）， 乙类、丙类各售出(400 -100)2=150（）。答案甲类售出100，乙类售出150，丙类售出150第四部分：家庭作业作业 1鸡兔共有只，关在同一个笼子中，笼中共有条腿。试计算，笼中有鸡多少
