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1、函数导数不等式综合问题领悟高考：导数的引入使得研究函数的手段更丰富，研究更深入，给函数问题的设计背景增添了活力。所以函数导数不等式问题一般是高考题中综合性很强的题目，单纯考查函数、不等式的试题很少，通常注重不等式与函数、导数以及数列、解析几何、三角等知识的综合，充分体现在知识交汇点设置能力试题的特点，考查综合运用知识的能力。备考要点：1.会用导数工具研究函数的单调区间和极值（最值），并能以此为工具讨论函数的其他方面的性质；2.能运用导数工具解实际用题，并能对不等式有关问题，能透过函数观点借助于导数工具进行处理。常见题型：（1）用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，极值问题要用表格分析，要注
2、意的取值范围；（2）以对数函数（常用对数为主）为背景，结合对数运算，以考查对数函数的性质及图象等；（3）在导数背景下研究不等式的证明、利用导数求最值解决恒成立问题，注意对数函数的定义域；（4）以方程或二次函数为背景，结合考查函数、方程和不等式的知识，重视代数推理能力；（5）用函数、不等式性质或导数研究数列、解析几何、实际应用中的最值问题。典例解析：例1已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一
3、品牌服装的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）分析：关键在于建立数学模型和目标函数，抽象出具体的数学问题，化归为研究目标函数的最值。解析：（1）当时，；当时，。（2）当时，由得且当时，；当时，。所以当时，W取最大值，且。当时，当且仅当，即时，。综合、知时，W取最大值。所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大。规律方法：在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最小、利润最大、用料最省的问题。应该先把实际情境翻译为数学语言，找出情境中主要的关系，抽象出具体的数学问题，化归为研究目标函数的最值，从而可利用导数方法简捷求解。例2已知函数是定义在上的奇函
4、数，当时，（为自然对数的底，）。（1）求函数的解析式；（2）设，求证：当时，；（3）是否存在实数，使得当时，最小值为3？如果存在，求出实数的值，如果不存在，请说明理由。分析：（1）利用奇函数的性质求出解析式；（2）转化为求函数的最值问题，证明；（3）先分析单调性，再利用的最小值为3求出实数的值。解析：（1）设，则，又是定义在上的奇函数，故（2）为奇函数，为偶函数，又是偶函数，所以只要证明时，即可。当且时，设，所以当时，此时单调递减，当时，此时单调递增。，又，当时，此时单调递减，从而。所以当时，即。（3）假设存在实数，使得当时，有最小值3，则。当时，由于，则。所以函数是上的增函数，（舍），当时，
5、则当时，此时函数递减，当时，此时函数是增函数，解之得。综合、可知，存在，使得当时，最小值为3。规律方法：第（1）问利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式；第（2）问转化为证明；第（3）问分类讨论函数的最小值情况，解得值后要检验。例3已知函数，。（1）若时，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）在（1）的结论下，设函数，求函数的最小值；（3）设函数的图象与函数的图象交于、，过线段的中点作轴的垂线分别交、与点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由。分析：（1）函数单调递增，则恒成立；（2）注意函数的解析式中的，可以换元将转化为二次函数
6、；（3）属于开放性问题，可以假设存在，根据切线平行推出结论是否合乎逻辑。解析：（1）依题意，在上是增函数，对于恒成立，。，的取值范围为。（2）设，则函数可化为，。，当，即时，函数在上为增函数，在时，；当，即时，在时，；当，即时，函数在上为减函数，在时，。综上所述，当时，；当时，；当时，。（3）设点、的坐标是，不妨令，则点、的横坐标为，在点处的切线的斜率为，在点处的切线的斜率为。假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即，则，即有。设，令，所以，可见，所以在上单调递增，故，则，这与矛盾，故假设不成立。所以在点处的切线与在点处的切线不平行。规律方法：第（1）问化归为恒成立问题；第（2）问化归为二次
7、函数，通过分类讨论求最值；第（3）问难度较大，先假设存在符合条件的点，通过构造函数求导，推出矛盾，从而得出不存在满足条件的点。课堂小结：函数导数不等式综合问题综合性很强，知识面广，难度较大，既考查知识，又考查能力，还考查数学思想方法，是数学考试的最高层次，所以往往是在压轴题出现。课后练习：1.已知函数。（1）求证：函数在区间上存在唯一的极值点；（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围。2.某企业拟建如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两边均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元。该容器的建造费用为千元。（）写出关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的r。3.设函数（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围
