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1、垂直关系 常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90，则两直线互相垂直。3) 利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 b4) 利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。b5) 利用常用结论：c 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。b b 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。（二）
2、直线与平面垂直的证明1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。3) 利用直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。4) 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。5) 利用常用结论： 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。平面与平面垂直的证明1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等2) 看二面角：两
3、个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。3) 利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。空间的平行与垂直一轮回顾1已知直线a、b、l及平面M、N。给出下列四个命题若aM，bM，则ab若aM，ba，则bM若aM，bM，且la，lb，则lM若aM，aN，则MN其中真命题的序号是_.（将所有正确结论的序号都写上）2已知m，l是直线，是平面，给出下列命题：若l垂直于内的两条相交直线，则l；若l平行于，则l平行于内的所有直线；四面体中最多可以有四个面是直角三角形；若m且l， 且则ml其中正确命题的是 。3如图，两个正方
4、形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么 ； 面； ； 、异面其中正确结论的序号是_.FEADBCMN4在正方体中，为底面的中心，、分别为棱、的中点，请写出一个与垂直的正方体的截面_（或或）.（截面以给定的字母表示，不必写出所有情况）5如图，四棱锥中，为正方形，底面，那么在该图中，互相垂直的平面有_对.ADBCOP6已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面给出下列的四个命题： 若，则； 若，则；若，则；若m、n是异面直线，则，其中真命题是 和典型例题例1在棱长为的正方体中。（1）求证：面；（2）求证：面面；（3）求证：面；（4）求证：面面；（5）求三棱锥的体积。例2如图，已
5、知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，（1）求证：四点共面；（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：面解：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN是平行四边形，所以DF/CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN/AD，且EN=AD，又BC/AD，且AD=BC，所以EN/BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN/BE，所以DF/BE，所以四点共面。（2）因为所以MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EMBB又平面ABBA平面BCCB，且EM在平面ABBA内，所以面例3（2006天津文，19）如图，
6、在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。（I）证明平面；（II）证明平面OEF平面（II）设证明平面证明：（I）取CD中点M，连结OM。在矩形ABCD中，又则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。（II）由（I）和已知条件，四边形EFOM为平行四边形。平面EFOM而，平面故，平面EFOM平面即平面OEF平面（III）连结FM。由（I）和已知条件，在等边中，且因此平行四边形EFOM为菱形，从而。平面EOM，从而而所以平面由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.平行问题的转化：面面平行线
7、面平行线线平行；主要依据是有关定义及判定定理和性质定理垂直问题的转化：面面垂直线面垂直线线垂直；BCDAME主要依据是有关定义及判定定理和性质定理例4如图，在直四棱柱中，已知，（1）求证：；（2）设是上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由BCDA解（1）证明：在直四棱柱中，连结，四边形是正方形又，平面， 平面，平面，且，平面，又平面，（2）连结，连结，设，连结，平面平面，要使平面，须使，又是的中点是的中点又易知，即是的中点综上所述，当是的中点时，可使平面【解析】本题主要考查立体几何中的主干知识，如线而平行、线面垂直等，考查空间想象能力、推理论证能力，本题属中等题。小结：1. 直线与平面的平行
8、、垂直是空间线线、线面与面面的位置关系的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面平行、垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。常用定理:线面平行;线线平行:;面面平行:;线线垂直:;所成角900；(三垂线);逆定理?线面垂直:;面面垂直：二面角900; ;2立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 3证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应
9、结论。直线是一维的，平面是二维的，立体空间是三维的。运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决。平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。巩固练习1已知正方体中，点、分别为、的中点。（1）求证：、四点共面；（2）证明多面体是棱台。ABCDNMA1B1C1D12如图，四边形ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AESB，AGSD。3已知侧棱垂直于底面的三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且，、分别为、的中点。（1）求证：面；（2）
10、求证：面。B1A1C1BACFED4如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，、分别为、的中点。（1）求证：面；（2）求证：面。SBCDANM5如图，四棱锥中，侧面为正三角形，且与底面垂直，已知底面是面积为的菱形，为的中点，求证：（1）；（2）面面。PDABCM 6如图，在长方体中，、分别为、的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面 （3）能否在面内找一点G，使AF若能，请找出所有可能的位置并证明，若不能，请说明理由。（1）证明：侧面，侧面，在中，则有， ， 又平面（2）证明：连、，连交于，四边形是平行四边形， 又平面，平面，平面 （3）点G所有可能的位置为中点G与点C的连线段。证明略线线垂直、线
11、面垂直、面面垂直的判定1、 如图，在四棱锥PABCD中， 2、如图，棱柱的侧面 PA底面ABCD，ABAD，ACCD， 是菱形，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 证明：平面平面； (1)求证：CDAE；(2)求证：PD面ABE. 3、如图，四棱锥中，底面为平行四边形。 底面 ，证明：4、如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（）证明：平面ABM平面A1B1M1 面面垂直的性质1、S是ABC所在平面外一点，SA平面ABC,平面SAB平面SBC,求证ABBC.SACB2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD证明:AB平面VADVDCBA3、如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面求证： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4、如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD1 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF平面ABC； （2）平面平面.2.如图，在四棱锥中，平面，平分，为的中点，（1）证明：平面 （2）证明：平面3.如图，四棱锥的底面是正方形
