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1、数列通项公式的求法一 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为： （2） （3） （4）.点评：观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。 二、公式法例2： 已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列，若函数f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2
2、)2，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=bqn1=4(2)n1点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易知 各式相加得点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。四、叠乘法例4：在数列中， =1, (n+1)=n，求的表达式。解：由(n+1)=n得，
3、= 所以点评：一般地，对于型如=(n)类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。五、Sn法利用 (2)例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2）解： （1）=3此时，。=3为所求数列的通项公式。（2），当时 由于不适合于此等式 。 点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。六、待定系数法： 例6：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、为常数），若数列为等比数列
4、，则，。七、辅助数列法例7：已知数的递推关系为，且求通项。解： 令则辅助数列是公比为2的等比数列即 例8： 已知数列中且（），求数列的通项公式。解： ， 设，则故是以为首项，1为公差的等差数列 例6已知数列满足,求.解:两边取倒数得:,所以 故有点评:当A=C时,数列的倒数构成一个等差数列.点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。八、归纳、猜想例9：在数列中，则的表达式为 。分析：因为，所以得：，猜想：。点评：对难以用上各法求通项的数列，常先由递推公式算出前几项，找到规律，归纳、猜想出通项公式。类型4递推关系式形如这种类型可以变形为,其中,于是是公比为的等比数列.其中，的位置可以互换。利用这一点，可以联立方程解出数列的通项公式。例7已知数列满足,求.解法一:由递推关系式可得,所以数列 是一个等比数列=(这是类型1)解法二：由递推关系式可得,所以数列 是一个等比数列=， 同理，由知数列列是一个常数列。故有： 由可得：1
