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1、2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编08圆锥曲线三、解答题(第一部分1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考设、分别是椭圆的左、右焦点. （）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（）易知 设P（x，y），则 ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 （）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k
2、直线l的方程为 由方程组依题意 当时，设交点C，CD的中点为R，则又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 2、(江苏省启东中学高三综合测试二已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上. (1求动圆圆心的轨迹M的方程；（i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由（ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围. 解：(1依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.假设
3、存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 因此，直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（1，y）使ABC成钝角三角形，CAB为钝角. . 该不等式无解，所以ACB不可能为钝角.因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:.解法二： 以AB为直径的圆的方程为:.当直线l上的C点与G重合时，ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，B，C三点不共线时， ACB为锐角，即ABC中ACB不可能是钝角. 因此，要使ABC为钝角三角形，只可能是CAB或CBA为钝角. . A，B，C三点共 线，不构成三角形.因此，当ABC为钝角
4、三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：3、(江苏省启东中学高三综合测试三（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C，证明：ABC的垂心H也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC的一个顶点为C(1,1，另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上，求顶点A、B的坐标。解：（1）略；（2）A(2+,2, B(2,2+或A(2,2+, B(2+,24、(江苏省启东中学高三综合测试四已知以向量v=(1, 为方向向量的直线l过点(0, ，抛物线C：(p0的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上（）求抛物线C的方程；（）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原
5、点，A、B异于原点，试求点N的轨迹方程解：（）由题意可得直线l： 过原点垂直于l的直线方程为 解得 抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，抛物线C的方程为 （）设，由，得又，解得 直线ON：，即 由、及得，点N的轨迹方程为 5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考已知线段AB过轴上一点，斜率为，两端点A，B到轴距离之差为，（1）求以O为顶点，轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点；解：（1）设抛物线方程为，AB的方程为，联立消整理，得；，又依题有，抛物线方程为；（2）设，的方程为
6、；过，同理为方程的两个根；又，的方程为，显然直线过点6、(江西省五校2008届高三开学联考已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.（I）求点G的轨迹C的方程；（II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）Q为PN的中点且GQPNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN| |GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，短半轴长b=2，点G的轨迹方程是 5分（2）因为，所以四边形OASB为平行四
7、边形若存在l使得|=|，则四边形OASB为矩形若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，故l的斜率存在. 7分设l的方程为 9分 把、代入存在直线使得四边形OASB的对角线相等.7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=1，=2，求证1+2为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.椭圆C的方程为 5分（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭
8、圆方程中，得去分母整理得 10分 12分方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 7分 8分又8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测已知点R（3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上 ,且满足，.（）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；（）设为轨迹C上两点，且，N(1,0，求实数，使，且.解：(设点M(x,y，由得P(0，Q(.由得(3，(，0,即又点Q在x轴的正半轴上，故点M的轨迹C的方程是.6分（）解法一：由题意可知N
9、为抛物线C:y24x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。当直线AB斜率不存在时，得A(1,2，B(1,-2，|AB|，不合题意；7分当直线AB斜率存在且不为0时，设，代入得则|AB|,解得 10分代入原方程得，由于，所以,由，得 . 13分解法二：由题设条件得 由（6）、（7）解得或，又，故.9、(北京市朝阳区2008年高三数学一模已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.（）求椭圆W的方程；（）求证： (；（）求面积的最大值. 解：（）设椭圆
10、W的方程为，由题意可知解得，所以椭圆W的方程为4分（）解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为得.由直线与椭圆W交于、两点，可知，解得设点，的坐标分别为，,则，因为，所以，.又因为，所以 10分解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,则点的坐标为，由椭圆的第二定义可得,所以，三点共线，即10分(由题意知，当且仅当时“=”成立，所以面积的最大值为10、(北京市崇文区2008年高三统一练习一已知抛物线，点P（1，1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满
11、足k1+k2=0.（I）求抛物线C的焦点坐标；（II）若点M满足，求点M的轨迹方程.解：（I）将P（1，1）代入抛物线C的方程得a=1，抛物线C的方程为，即焦点坐标为F（0，）.4分（II）设直线PA的方程为，联立方程消去y得则由7分同理直线PB的方程为联立方程消去y得则又9分设点M的坐标为（x，y），由又11分所求M的轨迹方程为：11、(北京市东城区2008年高三综合练习一）已知定圆圆心为A，动圆M过点B(1,0且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.（I）求曲线C的方程；（II）若点为曲线C上一点，求证：直线与曲线C有且只有一个交点.解：（I）圆A的圆心为，设动圆M的圆心由|AB|=2，可
12、知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1r2，即|MA|+|MB|=4，所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由故曲线C的方程为 6分（II）当，消去 由点为曲线C上一点，于是方程可以化简为 解得，综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为.12、(北京市东城区2008年高三综合练习二已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.（1）求双曲线的方程；（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值.（1）解：依题意有：可得双曲线方程为 6分（2）解：设所以 13、(北京市丰台
13、区2008年4月高三统一练习一在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0、B(1, 0, 动点C满足条件：ABC的周长为22.记动点C的轨迹为曲线W.(求W的方程；(经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（）已知点M（，0），N（0, 1），在(的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解：( 设C（x, y）, , , , 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点. . . W: . 2分( 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.整理，得. 5分因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于，解得或. 满足条件的k的取值范围为 7分（）设P（x1,y1）,Q(x2,y2,则（x1+x2，y1+y2,由得. 又 因为， 所以. 11分所以与共线等价于.将代入上式，解得.所以不存在常数k，使得向量与共线.14、(北京市海淀区2008年高三统一练习一已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值
