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1、3.4 基本不等式 第1课时基本不等式教学案例反思夏魏毅教学目标 1知识与技能：学会从图形中发现重要不等式，并用换元法得到基本不等式，再从数上回到形用图形理解这个基本不等式的几何意义；能利用基本不等式进行简单的应用。2过程与方法：学生动手拼图中发现不等式，然后从结构中观察换元出基本不等式，再回到形中解释基本不等式的几何意义，突出学生为主体探究知识的过程。3情感与价值：通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和数形结合的思想。通过对问题的引入培养学生的爱国主义情操。 重 点：应用数形结合的思想认识理解基本不等式以及基本不等式的证明。 难 点：用图形来解释基本不等式的几何意义。教学方
2、法：启发、引导、讲解。教学准备：实物投影仪，多媒体课件教学过程：一、 导入新课 （学生活动）让学生拿出事先准备的四个全等的直角三角形，自己动手拼一下风车的图案。（教师活动）用课件打出风车图，并引导他们大胆尝试，极端考虑拼出一些规则图形。并从中把学生拼的象赵爽弦图的找出用投影仪展示出来，让大家共同观察，趁机向学生介绍赵爽以及用课件展示24届国际数学家大会会标。（设计意图：让学生从活动中发现数学，激发学习数学的兴趣，并激发爱国热情。）问：你们能在这些图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何寻找？ 引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。问：同学们已学过从具体情境中抽象出不等关系并把其表示出来的相
3、关练习，请同学们用不等式表示上述相等或不等关系。为了表示方便，我们可设直角三角形的两直角边的长分别为。（提问学生，并得出理想结论）问：如何证明 ，当且仅当时取等号。让学生想基本不等式的证明：由，所以当且仅当，即时取等号。板书：一般的，对于任意实数，都有，当且仅当时取等号。引导学生从重要不等式的结构中观察，能不能得出其它一些式子（X+Y，则X=，）从而引出不等式 a+b，观察这个式子的右边是前面我们学过的等比中项，那还有一个什么中项呢？引导提示学生把右边的2除过来，从而得到基本不等式。（反思：引入别致，学生兴致很高，思维也很活跃，找出了各式各样的相等或不等关系。但时间上有些长了。）二、.新课探究
4、板书：若，则，当且仅当时取等号。（让学生自己证明一下）刚才我们从拼图中得到重要不等式，用换元法得到基本不等式，那么我们能不能用形来解释一下基本不等式呢？（设计意图：从形到数再从数到形，进一步认识基本不等式）即思考： 有什么几何意义？（引导学生探究下面的问题）重要不等式我们用赵爽弦图，从面积的角度去刻画，除了用面积之外我们还可以用什么来刻画这个基本不等式呢？（引导学生想到用长度）既然想到用长度，那分别用两条线段来表示数a和数b，找a与b和的一半，既线段a+b的中点处，那么用怎样的线段来表示呢？启发引导学生x用来代换，则从x=中自然想到平方，即x,即，初中用什么知识来刻画比例呢？（引导学生想到用相
5、似三角形，以线段a,b的接点处做垂线，从相似的角度出发引出三个直角三角形。从而得到基本不等式的几何意义。 板书： 的几何意义：半弦长不大于半径长评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（反思：这一部分是重点和和难点，特别是几何意义，学生想不到，因此我采用了启发式教学并借助多媒体课件给学生清晰的分析，学生从而很容易理解。）三例题讲解例1 （1） 已知x、y都是正数，求证：2；
6、变式思考：已知x、y都是负数，上面结论是否成立？（2）已知x1,求证（ 基本不等式的简单应用）例2已知x0，y0,z0,求证 （设计意图：用形来简单构建证明不等式）思考：已知，当取什么值时，的值最小？ （设计意图：不等式和函数之间的联系以及用怎样用基本不等式求函数的最值。引出下节课的内容）（反思：例题的设计虽然很全面，很到位，但例2基本上课堂上是完成不了，另外思考题也是在课下思考了，原因是前面的引入占了时间。如果事先让学生们先制做好并先在课下找一找关系，课堂上只是提问就好了。）四小结： （1）知识小结认识了基本不等式 的由来，以及它的几何意义，简单应用等。（2）思想方法小结：数形结合，构建主义。五作业：P100A组1、2课后反思：这是一节完整的数学课，设计别致，效果很好，但如果在时间上再兼顾一下的会更加好。
