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1、07年二轮复习名师点津 专题五 万有引力定律考点解读万有引力定律内容要求说明12.万有引力定律21.万有引力定律的应用.人造地球卫星的运动（限于圆轨道）22.宇宙速度在地球表面附近，可以认为重力近似等于万有引力考点清单1.定律内容及适用条件在公式中，如是两质点，则r指两质点间距，如是均匀球体，r为球心间距.但有些时候，如题目中结出的不是均匀球体，则可用“挖补法”，即构成均匀球体后再进行计算.例1 如图5-2所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是，求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力.图5-2分析
2、：万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点，至于本题中不规则的阴影区，那是不能当作一个质点来处理的，故可用补偿法，将挖去的球补上.解析 将挖去的球补上，则完整的大球对球外质点P的引力：半径为的小球的质量补上小球对质点1的引力：因而挖去小球的阴影部分对质点P的引力：2.综合运用牛顿定律、万有引力和匀速率圆周运动求解天体的运动的问题（1）卫星的速度、加速度、周期和卫星轨道的关系天体运动近似看成匀速率圆周运动，其向心力都来源于万有引力，即由此得出：，即线速度v ；，即角速度 ；，即周期T ，即向心加速度a.说明 卫星环绕半径r与该轨道上的线速度v
3、、角速度、周期T、向心加速度a存在一一对应关系，一旦r确定，则v、T、a皆确定，与卫星的质量m无关.对于环绕地球运动的卫星，若半径r增大，其周围T变大，线速度v、角速度、向心加速度a变小；若半径r减小，其周期T变小，线速度v、角速度、向心加速度a增大.例2 已知地球半径R 6.4106m，地面附近重力加速度g =9.8 m/s2，计算在距离地面高为h2106m的圆形轨道上的卫星做匀速率圆周运动的线速度v和周期T.分析：根据万有引力提供其做圆周运动的向心力求解.解析 卫星做圆周运动的向心力是它与地球间的万有引力，即知 由地球表面附近万有引力近似等于重力，即得 由两式可得：m/s =6.9103m
4、/s运动周期：s7.64103s点评：在已知地球半径和地面附近重力加速度的情况下，可以使用变换GM g R 2，使计算变得简单，有些教师称其为黄金代换.（2）求天体的质量、密度通过观察天体做匀速率圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力，得天体质量若知天体的半径R，则天体的密度若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，其周期T,则天体密度例3 把地球绕太阳公转看作匀速率圆周运动，轨道平均半径约为1.5108km，已知万有引力常量G 6.6710-11Nm2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少kg？（结果取一位有效数字）解析 题干给出地球轨道半径：r=1.5108
5、km，虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为365天，故周期T3652436003.2107s万有引力提供向心力故太阳质量：kg21030kg点评 在一些天体运行方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用.如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力.地面附近的重力加速度g 9.8 m/s2；地球自转周期T=24h，公转周期T 365天，月球绕地球运动的周期约为27天等.本方法利用的是卫星运动的有关参量（如r、T），求出的质量M是中心天体的，而不是卫星本身质量m，同学们应切记这一点.本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：在代入数据运算时，只要
6、按四舍五入的方法代入二位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果中，再按四舍五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用.（3）星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法地球表面的重力加速度由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力大小就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g0，则根据万有引力定律：（R0为地球的半径）.该式也适用于其他星体表面.离地面高h处的重力加速度,根据万有引力定律：（R0为地球的半径）.例3 有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，
7、则该星球的质量将是地球质量的（ ）A.1/4 B.4倍 C.16倍 D.64倍解析 星体表面的重力加速度：，又知,所以 故答案 D（4）卫星的变轨问题卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力.由，得，由此可知轨道半径r越大，卫星的速度v越小.当卫星由于某种原因速度v突然改变时，F和不再相等，因此就不能再根据来确定r的大小.当F 时，卫星做近心运动；当F 时，卫星做离心运动.例4 如图5-3所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是（ ）图5-3A.b、c的线速度大小相等，且大于a的速度B.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C.c
8、加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的cD. a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大解析 因b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小，加速度大小均相等.又b、c轨道半径大于a轨道半径，由知bca，故A选项错.由加速度，知，故B选项错.当c加速时，c受的万有引力，故它将偏离原轨道，做离心运动；当b减速，b受的万有引力，它将偏离原轨道，而离圆心越来越近.所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C选项错；对这一选项，不能用来分析b、c轨道半径的变化情况；对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视作稳定运行，由知，r减小时逐渐增大
9、，故D选项正确.答案 D（5）估算问题的思维与解答方法物理估算，一般是指依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所有物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的推算.物理估算是一种重要的方法.有的物理问题，在符合精确度的前提下可以用近似的方法简捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不可能进行精确的计算.在这些情况下，估算就成为一种科学而又有实用价值的特殊方法.例5 1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度.根据你学过的知识，能否知道地球密度的大小.剖析 实际本题是要求进行估算，因而如何挖掘题目中的隐含条件是关键.而我们学过的知识中能与地球质量密度相联系的应首先想到万有引力定律，何况题设中提出了“卡文迪许”呢？解析 设地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，根据万有引力定律得： 将地球看成均匀球体： 由得地球的平均密度上式中、G、R和g均为常数，将它们的值代入可得：5.5103 kg/m3即地球的平均密度为5.5103 kg/m3点评 估算题中往往告诉的已知量很少或者什么量也不告诉，解题时就要求我们灵活地运用一些物理常数，如：重力加速度g、圆周率、万有引力恒量G等等.
