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1、第五章 n维向量空间习题一1 解：a-b = a+(-b) = (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T3a+2b-c = 3a+2b+(-c) = (3,3,0)T+(0,2,2)T+(-3,-4,0)T = (0,1,2)T2 解： 3(a1-a)+2(a2+a) = 5(a3+a) 3a1+2a2+(-3+2)a = 5a3+5a 3a1+2a2+(-a) = 5a3+5a 3a1+2a2+(-a)+a+(-5)a3 = 5a3+5a+a+(-5)a3 3a1+2a2+(-5)a3 = 6a 3a1+2a2+(-5)a3 = 6a a1+a2+(-)a3 = a将
2、a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T代入a =a1+a2+(-)a3 中可得： a=(1,2,3,4)T.3 (1) V1是向量空间.由(0,0,0)V1知V1非空.设a=(x1,x2,xn)V1,b=(y1,y2,yn)V1,则有x1+x2+xn=0，y1+y2+yn=0.因为 (x1+y1)+(x2+y2)+(xn+yn)= (x1+x2+xn)+( y1+y2+yn)=0所以a+b=( x1+y1,x2+y2,xn+yn)V1.对于kR，有 kx1+kx2+kxn=k(x1+x2+xn)=0所以ka=( kx1,kx2,kxn) V1.
3、因此V1是向量空间. (2) V2不是向量空间.因为取a=(1, x2,xn)V2 ,b=(1, y2,yn)V2,但a+b=(2, x2+y2,xn+yn)V2.因此V2不是向量空间.习 题 二1 求向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式：(1) 解：设向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为： b=k1a1+k2a2+k3a3+k4a4 其中, k1,k2,k3,k4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T,a1=(1,1,1,1)T,a2=(1,1,1,0)T,a3=(1,1,0,0)T,a4=(1,0,0,0)T向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的
4、线性组合表达式中可得： (0,2,0,-1)T=k1(1,1,1,1)T+k2(1,1,1,0)T+k3(1,1,0,0)T+k4(1,0,0,0)T根据对分量相等可得下列线性方程组： 解此方程组可得：k1=1,k2=1,k3=2,k4=2. 因此向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为： b=a1+a2+2a32a4 .(2) 与(1)类似可有下列线性方程组： 由方程组中的第一和第二个方程易解得：k2=4,于是依次可解得：k1=-2,k3=-9,k4=2.因此向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为： b=2a1+4a29a3+2a4 .2(1) 解：因为向量
5、组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a1,a2 ,a3,a4线性相关.(2) 解： 因为 所以a1,a2,a3线性无关.(3) 解：因为所以a1,a2,a3线性相关.(4) 解： 因为 所以a1,a2,a3线性无关.3. 证明：假设有常数k1,k2,k3,使 k1b1+k2b2+k3b3=0 又由于b1=a1,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a3,于是可得 k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0 即 (k1+k2+k3)a1+ (k2+k3)a2+k3a3=0 因为a1,a2,a3线性无关，所以有 解得因此向量组b1,b2,b3线性无关.4. 设存在常数k1,k
6、2,k3,k4使 k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0因为b1=a1+a2,b2= a2+a3,b3=a3+a4,b4= a4+a1于是可得： k1 (a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0整理得： (k1+k4)a1+ (k2+k1)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0，（下用两种方法解）法 一：因为a1,a2,a3,a4为同维向量，则(1) 当向量组a1,a2,a3,a4线性无关时，k1+k4=0， k2+k1=0，k2+k3=0，k3+k4=0 可解得：k2=- k1，k4=- k1，k3=k1 取k10可得不为0的常数k1,k2,
7、k3,k4使 k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0 因此b1,b2,b3,b4线性相关。(2) 当向量组a1,a2,a3,a4线性相关时，k1+k4，k2+k1，k2+k3，k3+k4中至少存 在 一个不为0，因此易知k1,k2,k3,k4不全为0，于是可得b1,b2,b3,b4线性相关。法二：因为a1,a2,a3,a4为任意向量， 所以当，而该方程组的系数矩阵对应的行列式，所以有非零解所以b1,b2,b3,b4线性相关。5. 证明：假使向量组b1,b2,bm线性相关.即存在不全为0的常数k1,k2,km,使： k1b1+k2b2+kmbm=0 由题意不妨设 a1=(a11,a12,a1
8、r), a2=(a21,a22,a2r), , am=(am1,am2,amr) 则相应地， b1=(a11,a12,a1r,a1r+1, a1n), b2=(a21,a22,a2r,a2r+1, a2n), , bm=(am1,am2,amr,amr+1, amn)由k1b1+k2b2+kmbm=0可得： k1a11+k2a21+kmam1=0 k1a12+k2a22+kmam2=0 , k1a1r+k2a2r+kmamr =0 k1a1r+1+k2a2r+1+kmamr+1 =0 , k1a1n+k2a2n+kmamn=0去前面r个分量可得： k1(a11,a12,a1r)+k2(a21,
9、a22,a2r)+km(am1,am2,amr)=0即 k1a1+k2a2+kmam=0由假设知k1,k2,km不全为0，因此a1,a2,am线性相关，此与a1,a2,am线性无关相矛盾，结论得证.习 题 三1(1) 解：对矩阵进行初等行变换为 该矩阵的秩为3，矩阵的第1,2,3列是它的列向量组的一个极大无关组.(2) 解：对矩阵进行初等行变换为 该矩阵的秩为4，因此矩阵的第1,2,3,4列是它的列向量组的一个极大无关组.2(1) 解：以a1,a2,a3为列作矩阵A：A=该矩阵的秩为2,它的一个极大无关组为a1,a2(3) 解：以a1,a2,a3为列作矩阵A=该矩阵为下三角矩阵，其，因此该矩阵
10、的秩为3,它的一个极大无关组为向量组本身.(4) 解：以a1,a2,a3,a4,a5为列作矩阵A,矩阵A的秩为3, 矩阵A的第1,2,3列构成它的一个极大无关组， 3. 证明：（法 一）设； ，且 向量组C能被A表示，而A也能被C表示所以取向量组B的极大无关组为：，它也是向量组C的极大无关组所以向量组C能由向量组线性表示，所以向量组C能由向量组B线性表示，所以向量组A能由向量组B线性表示，加上题设条件，所以向量组A与向量组B等价。（法 二）设向量组B和A的秩均为r,且设它们的一个极大无关组分别为 (b1,b2,br), (a1,a2,ar).则由极大无关组的性质可知：一个向量组的所有向量都可由
11、它的一个极大无关组的向量线性表示.因此要证明向量组A与B等价，只证明a1,a2,ar可由b1,b2,br线性表示即可.因为B可由A线性表示，不妨设 b1=c11a1+c12a2+c1rar b2=c21a1+c22a2+c2rar br= cr1a1+cr2a2+crrar不妨设存在常数k1,k2,kr使 k1b1+k2b2+krbr=0于是可得： (k1c11+k2c21+krcr1)a1+(k1c12+k2c22+krbr2)a2+(k1c1r+k2c2r+krbrr)ar=0 由a1,a2,ar线性无关可得： k1c11+k2c21+krcr1=0 k1c12+k2c22+krbr2=0
12、 k1c1r+k2c2r+krbrr=0 把k1,k2,kr当作未知数，当k1,k2,kr只有0解时，b1,b2,br线性无关.要k1,k2,kr只有0解，当且仅当0 (i=1,r,j=1,2,r),即 C= 即矩阵C的秩为r,存在逆矩阵C-1.设C-1= 又因为=C,则 C-1= C-1C 即 = C-1 因此有： a1=b1+b2+br a2=b1+b2+br ar=b1+b2+br 也即说明，a1,a2,ar可由b1,b2,br线性表示，因此结论成立. 4. 证明：(1) 必要性. 若a是任一n维向量，由于n+1个n维向量a1,a2,an ,a必线性相关，而a1,a2,an线性无关，故a必可由a1,a2,an线性表示. (2) 充分性. 因为任一n维向量都能由a1,a2,an线性
