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1、循环冗余校验码(CRC)的基本原理是:在K位信息码后再拼接R位的校验码,整个编码长度为N位,因此,这种编码又叫(N,K)码。对于一个给定的(N,K)码,可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码,而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。 校验码的具体生成过程为:假设发送信息用信息多项式C(X)表示,将C(x)左移R位,则可表示成C(x)*2R,这样C(x)的右边就会空出R位,这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。 几个基本概念 1、多项式与二进制数码 多项式和二进制数有直接对应关系:x的最高幂次对应二进
2、制数的最高位,以下各位对应多项式的各幂次,有此幂次项对应1,无此幂次项对应0。可以看出:x的最高幂次为R,转换成对应的二进制数有R+1位。 多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。 如生成多项式为G(x)=X4+X3+X+1, 可转换为二进制数码11011。 而发送信息位 1111,可转换为数据多项式为C(x)=X3+X2+X+1。 2、生成多项式 是接受方和发送方的一个约定,也就是一个二进制数,在整个传输过程中,这个数始终保持不变。 在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。 应满足以下条件: a、生
3、成多项式的最高位和最低位必须为1。 b、当被传送信息(CRC码)任何一位发生错误时,被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。 c、不同位发生错误时,应该使余数不同。 d、对余数继续做模2除,应使余数循环。 将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示: N K 码距d G(x)多项式 G(x)7 4 3 x3+x+1 10117 4 3 x3+x2+1 11017 3 4 x4+x3+x2+1111017 3 4 x4+x2+x+1 1011115 11 3 x4+x+1 1001115 7 5 x8+x7+x6+x4+1 1110100
4、0131 26 3 x5+x2+1 10010131 21 5 x10+x9+x8+x6+x5+x3+1 1110110100163 57 3 x6+x+1 100001163 51 5 x12+x10+x5+x4+x2+1 10100001101011041 1024 x16+x15+x2+1 11000000000000101图9 常用的生成多项式 3、模2除(按位除) 模2除做法与算术除法类似,但每一位除(减)的结果不影响其它位,即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下: a、用除数对被除数最高几位做模2减,没有借位。 b、除数右移一位,若余数最高位
5、为1,商为1,并对余数做模2减。若余数最高位为0,商为0,除数继续右移一位。 c、一直做到余数的位数小于除数时,该余数就是最终余数。 【例】1111000除以1101: 1011商 1111000-被除数 1101 除数 010000 1101 01010 1101 111余数 CRC码的生成步骤 1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。 2、将信息码左移R位,相当与对应的信息多项式C(x)*2R 3、用生成多项式(二进制数)对信息码做模2除,得到R位的余数。 4、将余数拼到信息码左移后空出的位置,得到完整的CRC码。 【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3
6、+x+1。4位的原始报文为1010,求编码后的报文。 解: 1、将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。 2、此题生成多项式有4位(R+1),要把原始报文C(x)左移3(R)位变成1010000 3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除: 1001-商 - 1010000 1011-除数 - 1000 1011 - 011-余数(校验位) 5、编码后的报文(CRC码): 1010000 + 011 - 1010011 CRC的和纠错 在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除,若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错,则余数不为
7、0,而且不同位出错,其余数也不同。可以证明,余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关,而与待测碼字(信息位)无关。图10给出了G(x)1011,C(x)1010的出错模式,改变C(x)(码字),只会改变表中码字内容,不改变余数与出错位的对应关系。 收到的CRC码字 余数 出错位码位 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1正确 1 0 1 0 0 1 1 000 无错 误 1 0 1 0 0 1 01 0 1 0 0 0 11 0 1 0 1 1 11 0 1 1 0 1 11 0 0 0 0 1 11 1 1 0 0 1 10 0 1 0 0 1 1 00101010001111011
8、1101 1234567图10 (7,4)CRC码的出错模式(G(x)1011) 如果循环码有一位出错,用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去,我们将发现一个有趣的结果;各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错,余数将为001,补0后再除,第二次余数为010,以后依次为100,0ll,反复循环,这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后,一边对余数补0继续做模2除,同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明,当出现余数(101)时,出错位也移到A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A1。这样我们就不必像海明校验那样用译
9、码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时,循环码校验能有效地降低硬件代价,这是它得以广泛应用的主要原因。 通信与网络中常用的CRC 在数据通信与网络中,通常k相当大,由一千甚至数千数据位构成一帧,而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误,而不能纠正错误。一般取r=16,标准的16位生成多项式有CRC-16x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITTx16+x15+x2+1。 一般情况下,r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及(1-2-(r-1))的突发长度为r+1的突发错和(1-2-r)的突发长度大于r+1的突发错。例如,对上述r
10、=16的情况,就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99997%的突发长度为17的突发错和99998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里,突发错误是指几乎是连续发生的一串错,突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是,中间并不一定每一位都错)。 【例1】某循环冗余码(CRC)的生成多项式 G(x)x3+x2+1,用此生成多项式产生的冗余位,加在信息位后形成 CRC 码。若发送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为A和B。由于某种原因,使接收端收到了按某种规律可判断为出错的 CRC 码,例如码字C、D、和E。(1998年试题
11、11)供选择的答案 A: lllll00 1111101 1111110 1111111B: 1100100 1100101 1100110 1100111CE: 0000000 0001100 0010111 1000110 1001111 1010001 1011000解:A:G(x)1101,C(x)1111 C(x)*23G(x)111100011011011余111得到的CRC码为1111111B:G(x)1101,C(x)1100 C(x)*23G(x)110000011011001余101得到的CRC码为1100101CE:分别用G(x)1101对 作模2除: 0000000110