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1、多项式理论及其应用许洋巢湖学院 数学系 安徽 巢湖 238000 摘要 多项式是代数学中最基本的对象之一。它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及 其他数学分支时也会碰到。本文将介绍一些有关多项式的基本理论以及多项式在矩阵问题，行列式 问题和初等数学中的运用。关键词：多项式；矩阵；行列式AbstractAbstract:polymial is the most basic object of algebra one.It does not but with high times equation,and discussion about the further study alge
2、bra and other branches of mathematic may encounter.This paper will intraduce the basic theory of some relevant polynomial in matrix,determinants and polynomial in the application,elementary algebraKeywords:polynomial;matrix;determinants引言：多项式理论是古典代数的主要内容。多项式的研究源于“代数方程求解”， 是最古老的数学问题之一。16世纪以前，人们对一般的一元
3、二次方程已经有了公式解 法，但对于一般的一元二次方程，数学家却束手无策。16世纪的欧洲数学家们都致力 于寻求一般的一元三次方程的求根公式。1799年，高斯(Garss,1777-1855)在他的博 士论文中第一次严格证明了代数基本定理：在复数域中，任何n(n三1)次多项式至少有 一个根。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般解法。终于在1824 年阿贝尔(Galois,1811-1832 )引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上 的多项式的一般方法，这理论被引申为伽罗华理论。以下本文将介绍多项式的有关理 论及其应用。一,多项式的有关理论(一) 多项式的有关概念定义 1： f
4、(x)= a xn + a xn-i +. + a x + a ( a 丰 0 , nr N )称为关于 x 的一元 n 次 n n1 1 0 n多项式，n称为f(x)的次数，记作：deg f(x)二n。定义2：如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等， 那么f(x)与g(x)就称为相等，记为f(X)二g (x).系数全为零的多项式称为零多项式。 性质：设f(x)丰0与g(x)丰0是两个多项式，且f(x) 土 g(x)丰0，则degf(x) 土 g(x) maxdeg f (x) ,deg g(x);degf(x) g(x)=deg f(x)+ deg g(x)
5、.(二) 多项式的整除法定理1(带余除法定理)：设f(x)与g(x)是两个多项式，且g(x)丰0,那么存在唯一的 一对多项式 q(x)与 r(x),使得 f (x)二 g(x)q(x)+r(x)；其中 r(x)=0 或 degr(x)0,k+2m=n。口i i i i推论3：实系数n(nl)次多项式的虚根成对出现。推论 4：任何奇次数实系数多项式至少有一个实根。(五)多项式的根定理 7(代数基本定理)在复数域中，任何n(nl)次多项式至少有一个根。定理8：在复数域中，任何n(nl)次多项式恰有n个根。定理9：若f(x)二a xn + a x-1 +. + a x + a ( a丰0，ne N
6、)是一个整系数多项式，n n1l 0 n而既约分数q/p是它的一个根，则p | a ， q | a。n0定理10：如果整系数多项式的首项是1,那么他的有理根只能是整数，且是常数项的约数。定理 11(爱森斯坦因判别法)：设 f (x)= a xn + a xn-i +. + a x + a( a 丰 0 , nG n)是一 个整系数多项式，如果有n n1 1 0 n N一个系数为p,且满足：1. p 不整除 a ；n2- p 整除a一i,a一2,ao ；3. p 2不整除 a ；0那么f(x)在有理数集上是不可约的。(六)本原多项式定义 4：如果一个非零整系数多项式的系数是互素的，则称这个多项式
7、是本原多项式。 定理 12(高斯引理)：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。二多项式理论的应用(一) 多项式理论在初等代数中的应用1.多项式理论在因式分解中的应用 在高等代数里已经证明任意一个多项式分解成若干个不可约多项式的积的形式。这种 分解除各因式的次序和非零数值因式外是唯一确定的。并且,我们只能对于给定的数域 来谈论多项式的可约或不可约。例如： x4-4 在有理数范围内分解为( x2 -2)( x2 +2)，在实 数范围内可分解为(x+：2)(x-/2)( x2 +2)，在复数范围内分解为(x+“2)(x-；2)(x+wQi)(x- 丫 2 i )。例1,能否将有理系数多项式x4 +4k
8、x+1(k为整数)进行分解？解：(1).待定系数法 就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积使这些因式的乘积与原式组成恒等式 然后利用多项式恒等关系求各待定系数值观察所求值是否是有理数令f(x)二x 4 +4kx+1 (k为整数)，显然f (土 1)丰0,所以f(x)无一次因式。若f(x)可约，只 能是2个二次有理因式的积，由于f(x)是整系数多项式，因此f(x)可化为两个整系数 多项式的积。即 f(x)= ( x2 +ax+1) (x2 +bx+1),其中 a,b 是整数，则 x4 +4kx+1= x4 + (a+b) x3 + (2+ab) x2 +(a+b)x+1，得 a+b=0,2+
9、ab=4k，得a2 =2 使a为整数是不可约的。因此f(x)不可约。即 有理系数多项式x4 +4kx+1 (k为整数)不可因式分解。( 2 )爱森斯坦因判别法设f (x) = a + a x+ a x是整系数多项式，若能找到一个系数p,使得p丨a (i=0,1,.,n-1) ,p 01ni不能整除a且p2不能整除a，则f(x)在有理数域不可约。把f(x)变形，令x=y+1.这样得 n0g(y)=f(y+l)= y4 +4 y3+6 y2 +(4k+4)y+4k+2由爱森斯坦因判别法，取p=2即可证g(y)不可约。 即x4+4kx+1 (k为整数)在有理数域上不可因式分解。以上，用两种方法解决了
10、初等代数中判断某一多项式能否因式分解的问题！2.用多项式理论分解因式 初中代数已经介绍了提取公因式法，公式法，分组分解法和十字相乘法等基本方法。这里根据多项 式的理论再讨论两种因式分解的方法以便解决高次方程的因式分解问题。例2在 有理数域上分解因式X5-10X3-20X2-15X-4解：分离重因式法因为 /-1(X)=5 x4-30x2-40X-15 用辗转相除法，得 d(x)=f(x), /-1(x)= x3+3 x2 +3x+1 。f ( X)h(x)= x2 -3x-4=(x+1)(x-4),因此，f(x)的所有不可约因式为x-4,x+1,其中x-4在f(x)中是单d(x)因式，x+1是
11、f(x)的四重因式，于是，f(x)=(x-4)(X +1)4 .即卩x5 -10 x3一20 x2 -15x-4=(x-4)(x +1)4(二) 多项式理论在解高次方程中的运用 对于某些特殊的一元高次方程,在中学代数教材中仅介绍了因式分解法和换元法，但在 许多实际问题中仅掌握这两种方法是远远不够的,这里,利用多项式理论中的韦达定理 和实系数多项式的非实复根两两成对的理论,通过例子求一些高次方程的解.例3已知方程2 x5 -7 x4 +8 X3-2 x2 +6x+5=0有两个根是2-i, i。解此方程。解：由于实系数方程的虚根成对出现，故2+i，-i也是方程所给的根，由代数基本定 理可知此方程有
12、5个根。设此方程第五个根是d，由韦达定理得(2+i ) + (2-i ) +i-i+d =7/2;得d =-1/2故此方程的根是2土 i, 土 i， -1/2。例4已知实系数方程x3 +2x2 +qx+r有一个根是T+p2 i，试求q,r；并解此方程。解：设方程的三个根是-1 土吕i，Q。则由韦达定理，可知(-1+2 i) +(-172 i)+ 6 =-2 得6 =0由韦达定理可进一步推知：q=3;r=0例5 解方程3 x4+5 x3+ x2+5x+2=0解：易知，-2.1/3 是 f(x)= 3x4 +5X3 + x2 +5x+2=0 的两个根。令 g(x) = (x+2)(x-1/3) =
13、 x2 +5x/3+2/3，由带余除法，得 f (x)=g(x)(3x2 +3),求 3x2 +3=0 的解，土 i 是它的根。 经验算原方程的根是-2, 土 i，1/3.二多项式理论在矩阵问题中的应用(一).利用多项式互素理论求抽象矩阵的逆矩阵命题1设f(入)是复系数多项式,n阶方阵A的特征值不是f (入)的零点，则f(A)可逆, 且f(A)的逆矩阵可表示为A的多项式。命题2设f(x)和g(x)为互素的两个复系数多项式，A为n阶方阵，且g(A)=0,则f(A)可逆，且f(A)的逆矩阵可表示为A的多项式。例1设A2 =2E , B= A2-2A+2E，证明B可逆，并且求B的逆矩阵。证明：设 f(x)= x3-2,g(x)= x2-2x+2,贝则(f(x),g(x) =1 于是有-十(x+1)f(x) + (十 x 2 + 于 x+2/5)g(x)=110 10 10 因为 f(A)二 A3-2E=0 故 (-十 x2 + -3x+ 2E ) g(A)=E10 10 5因此 B=g(A)可逆，且
