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1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计第八章假设检验2008年大纲考试内容显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验2008年大纲考试要求1. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。2. 掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。一、假设检验与参数区间估计的关系1.1参数0的置信度为1 d的区间估计，正好是显著性水平为的假设检验的接受域。1.2 区间估计中，假设总体中的参数是未知的，要用样本对它进行估计；而假设检验中，是先对参数做出假设，再用样本对假设作检验。在某种意义上，假设检验是区间估计的逆问题。1.
2、3 具有完全相同的8大枢轴量（8大枢轴量详见第七章）。二、假设检验的基本思想及两类错误与显著性检验比如，一个人说他射击是高手，我们将半信半疑。怎样才能确定他的话真假，最好的办法 就是先假设他是高手或低手，然后让他实际打几枪，根据他射击的结果来检验。如果其射击结 果命中率在 90% 以上，我们就接受他的说法；如果命中率在 50% 以下，我们就拒绝他的说 法。但我们的判断也可能犯错误，一是他的确是高手，但在这次射击中失误了，而我们却只根 据他这一次的命中率没把他当高手，也就是说我们犯了以真当假的错误称为第一类错误。二 是他本来是个低手，但这次命中率恰好超过了 90% 以上，我们却把他当成了高手，实
3、事上我 们犯了以假当真的错误称为第二类错误。这两类错误，我们都尽可能使其概率最小，但实事 上做不到，因为它们是此消彼长的关系，因此，我们首先要控制主要错误（又称显著性错误） 的概率。为了说明两类错误主次关系的直观含义，我们引用一个生活例子：某人因身体不适前往医 院求医。医生的职责就是通过各种生理检查，根据化验的数据作出该病员是否犯病的结论。然 而再好的医生都不可避免会犯下两类错误。一种是病员确实有病，但由于生理指标未出现明显 的异常现象，使医生判断为无病。另一种是病员实际上没有疾病，但生理指标呈现某种异常， 使医生判断为有病。这两类错误都会导致病员的损失。然而两类错误的损失是不一样的。如果 “
4、有病判无病”第1 类错误，其结果可能延误了治病的时机造成病情的加重以致死亡；而“无 病判有病” 第 2 类错误其结果是病员会有一些经济或其他损失，然而对生命是无碍的。因 此医生总是尽可能地避免犯上述第 1类错误。如果用假设检验的数学语言表达即为：原假设 H ：该人有病，备选假设 H ：该人无病。 01而生理检验指标就是样本观测值，医生要作的决定即为接受H或拒绝H。而拒绝域W即为“生 00理指标属于正常范围”而第I类错误概率P (W )正是“有病误判无病”的概率。第II类错 H0误P (W)正是“无病误判有病”的概率。由于两类错误的影响不同，第一类错误的后果严重, H1是显著的，故经常要求控制第
5、一类错误概率，即P (W ) ，其中a是充分小的正数，这也就 H0是显著性检验的由来，a称为显著性水平，注意到此时对第2类错误概率并未提出要求。当总体的分布函数未知，或只知其形式而不知道它的若干参数的情况时，我们可以根据历史 经验或者其他的充分理由对总体分布或者它的参数提出某种假设：例如H :总体分布是正态分布 或者 H ： 0 0，称为备择假设。11110-假设检验方案即为寻求一个区间W，一旦样本的观测值落在W内，就作出拒绝H的决定,0故称为拒绝域，W的余集W成为接受域，样本的观测值落在W就作出接受H的决定。假设检 0验就是根据取到的样本观测值作出拒绝还是接受假设的决定。例如：若 P X =
6、 a，当 a = 0.01；0.05,0.1 等很小的值时，叫做小概率事件，UC 0“丿小概率事件在一次试验中可以认为是不会发生的，称为小概率原理。也就是说事件(0、 X丿是不可能发生的，在H0假设(卩=卩0)下,Q Mn0N(0,1 )。其中分位数X = Xa12可查表得到，x-匚的值可由样本观察值确定。如果卩=卩Q / Pn0代入，有0 X ，则小概a12率事件发生了， 就拒绝 H ； 反之，0接受H0。 显然，的拒绝域为；接受域-XXa12，由此还可以推出卩的拒绝域为Q X + X n 1a2-Qor 卩 Z = aa2= a n因此X = Zx0 0 1 b . 0 0 9 80.0
7、50 . 0 29故有P X p 0.00 9=8 0.050而抽样结果 X - p = |0 . 5 1 1 0 I0 =5 0.0 1 1 0 0.0 0 9 80按照小概率原理，由知X-p 0.0098这种情况几乎不可能发生（小概率事件），而抽样0结果中居然发生了，说明我们拒绝H，而接受H （在显著性水平a= 0.05下）013-2 数学方法an P X以后，我们一般按照下面的方法解答题目X =a显然，只要比较枢轴量的计算值Z与分位数的查表值Z的大小即可，即有结论0a2(a )|Z | Z拒绝原假设H，而接受H0a01（ H 拒绝域）0(b )2Z Z ：二一Z a 21a 2X 土 Z
8、 :a 2数 学 期 望G 2已 0Z Z = Za1 aZ = . J-0g J V nZa知 0 0Z t= -1ya 21a 2X 土 t :a 2G 2未 0t t = ta1 at = Hn 一 1t a知 0 0t X2.-a 2或 X2 X2 /1 a 2i (x )2iX2/a 21 X2 /J 1=a 2方差G 2已 知G 2 G 20X 2 X 2aX 2 = _7=1G 20nX 2aG 2 G 20G 2 G 20X 2 X 2.-a 2或 X 2 X 2 /1 a 2(n 1) S 2X2 =G 20X 2(n 1) x2/2X 2 .l 1-a 2未 知G 2 G 20X 2 X 2an 一 1X 2aG 2 G 20G 2 G 20X 2 Z Z .a 2y Zay y1 2U t (m + n 2) a2y t (m + n) 一 2 ay y1 2T F (m,
