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1、2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名
2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日产销问题数学模型摘要本文主要针对不同月份市场需求量的不同、生产成本以及各种限制条件建立数学模型求解线性最优解。在生产企业中，产品的成本由多方面组成：原材料成本、库存成本、外包费用以及员工工资等等。而在该产品当月的需求不能得到满足时，顾客愿意等待该需求的后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品价格进行打折，因此还要考虑缺货损失。同时，由于各月的产品需求不同，需要的工人的数也随之变化，还必须考虑工人的培训费用、加班费用以及解聘费用等。该产品的销售
3、价格不变，产品需求也大概是一个定值，故一般在成本最低时其利润就最大，故此题第一问就是求一个最小值问题。由以上分析可知，此题属于多元函数的条件极值问题，其目标函数就是成本最小，而约束条件则是各种成本因素，线性规划是解决这类问题的有效方法。我们可以用比较熟悉的LINGO软件进行求解。使用LINGO将大大简化我们的劳动量，但是输入时要遵守该软件的输入规则。最后得到第一问的答案为最小成本是897496元，而第二问，从计算结果可看出，降价促销会引起总收入减少，但促销带来的增长会使需求的变化变得平稳引起总成本的下降。一般在淡季进行促销时总成本下降的幅度较大，使需求平稳的同时生产的安排也更加平稳。从利润最大
4、化考虑，不促销方案还是是最优产销方案。关键词：产销问题 成本最小值 线性规划 条件极值 1 问题重述某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。表1. 产品需求预测估计值（件）月份1月2月3月4月5月6月预计需求量1000110011501300140013001月初工人数为10人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过10个小时。1月初的库存量为200台。产品的销售价格为240元/件。该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用
5、缺货损失来表示。6月末的库存为0（不允许缺货）。各种成本费用如表2所示。表2. 产品各项成本费用原材料成本库存成本缺货损失外包成本培训费用100元/件10元/件/月20元/件/月200元/件50元/人解聘费用产品加工时间工人正常工资工人加班工资100元/人1.6小时/件12元/小时/人18元/小时/人（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；（2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进
6、行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。2 模型假设通过对题目的分析，为了使问题得到简化，我们做出了以下合理假设：1， 不考虑合同法的相关规定，工厂可以随时解雇和招聘工人；2， 不考虑工人生病等特殊情况对生产的影响；3， 假设生产出来的产品能立即运到市场销售；4， 不考虑培训时间，即培训期间也生产，且产量不变；5， 存储费用按月计算且只在月末收取。3 主要变量及符号说明：所考虑的计划期间；：月份的人力规模， ：月初雇佣的员工数 ：月初解雇的员工数， ：月份工人生产的产品数量， ：月份末的存货量， ：月份末的缺货量， ：月份的外包产品数量， ：月份的加班工时数， ：月份的市场需求量，4 问题分析
7、这个优化问题的目标是使成本最低从而达到利润最大值，成本包括：付给工人的日常报酬、加班报酬、产品外包费用、雇佣新工人的培训费用、解雇工人费用、产品的原材料费用、库存费用、缺货费用等。总的成本数如下图所示：总成本数产品外包费用员工加工报酬缺货费用库存费用产品原材料费解雇工人费用新人培训费用员工日常报酬图1 总成本框图这些成本均为线性函数，其约束条件为：聘用和解雇人员的限制，生产能力的限制，库存的限制，加班限制等。于是建立规划模型，可以利用LINGO软件进行求解。问题二的解题思想和问题一是一致的，只是市场需求出现了变动，只要改变市场需求矩阵，运用问题一的模型便可以解得问题二的解。5 模型的建立与求解
8、5.1 模型的建立5.1.1目标函数考虑到利润最大和成本最小在总的需求确定的条件下是等价的，因此我们通过建立最小成本建立最优模型，成本包括：付给工人的日常报酬、加班报酬、产品外包费用、雇佣新工人的培训费用、解雇工人费用、产品的原材料费用、库存费用、缺货费用。根据题意和数学知识可以得到最小成本目标函数：+5.1.2约束条件约束条件1： 通过分析可知月份的工人人数与当月当月初解雇人数之和应该等于上月工人人数与当月初雇佣人数，由此得到约束条件1 =1,6约束条件2 ：1月初的工人人数为10，由此得到约束条件2=10约束条件3 ：月份有工人数，而每个月工人工作21天，每天工作8小时，每生产一件产品需要
9、1.6小时，因此正常工作每月能生产的产品数为105，考虑到加班情况，表示每月所有工人加班总工时，因此每月加班能生产的产品数为，而每月总的生产能力应该要大于实际生产的产品数，所以得到约束条件3 =1,6约束条件4 ：月份能提供的总的产品数应该是上月存货量、当月工人生产量与当月外包数量之和，月份需要的产品总数数为当月需求量、上月的缺货量与当月存储量之和，而月份需要的产品数与当月能提供的产品数之差就是当月的缺货量，通过变形便得到了约束条件4 =1,6约束条件5 ：由题意可知，1月初的缺货量、6月末的缺货量和6月末的存货量为0，因此得到约束条件5=0约束条件6 ：因为1月初的存货量为200，得到约束条
10、件6=200约束条件7： 因为每个工人每个月加班时间不得超过10小时，所以得到约束条件710-0, =1,6约束条件8 ：因为6月末的库存为0，而且不允许缺货，因此所有能生产的产品数与1月的存货量之和应该刚好供应所考虑期间内的市场需求量7250，所以得到约束条件8此外，计划期间的市场需求量是常量，可以用需求矩阵表示 =1,6综合上面分析得到的目标函数和约束条件，我们得到问题一的数学模型为目标函数：+约束条件： =1,6=10 =1,6 =1,6=0=20010-0, =1,65.2模型求解 5.2.1问题（1）的求解模型的求解我们通过LINGO软件求解最优解，将建立的模型编写成LIDGO程序语
11、句求解，模型在实际当中有些的决策变量只能取整数，对得到的计算结果进行必要的取整，可得到该公司的总生产计划如下所示：表3 总生产计划表时期n雇佣工人数解雇工人数工人人数加班时间库存缺货外包生产数量00010020000010280400084022010805010553101100001155420130650013655001303000136560112160001270得到最小成本的最优解为842504元。而产品的销售价格为240元/件，则计划期间的销售收入为：元；计划期间的利润为元。5.2.2问题（2）的求解问题（2）利用的仍是问题（1）的模型，只是每月需求量有变化，一月份促销方案中接
12、下来的两个月中6%的需求会提前到当月，于是得到一月份需求矩阵四月份促销方案中，需求矩阵，因此得到两种促销方案的预计产品需求量为表表4 一月和四月促销方案的预计产品需求量月份123456一月份促销预计需求量113510341081130014001300四月份促销预计需求量100011001150146213161222利用前面给出的成本最小规划模型，将相关参数值代入该模型进行求解，得到一月份促销方案和四月份促销方案的结果分别为：一月份促销方案，总成本为842214元。销售收入为元；利润为1717300-842214=875086元。各期间生产计划安排如下表表5 一月份促销方案中各期间生产计划安排表时期n雇佣工人数解雇工人数工人人数加班时间库存缺货外包生产数量000100200000101901000945210100260010503001000501050430130600013655001302500136560112240001275四月份促销方案，总成本为842454元销售收入为元；利润为1710760-842454=868306元。各期间生产计划安排如下表表6 四月份促销方案中各
