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1、空间几何体的表面积与体积知识框架高考要求空间几何体的表面积与体积要求层次重难点球、棱柱、棱锥的表面积和体积A了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）例题精讲板块一：空间几何体的表面积（一） 知识内容1直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积，其中为底面的周长，为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2正棱锥（圆锥）的侧面积等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半，其中为底面边长，为斜高；，其中为底面周长，为圆锥的底面半径，为母线长；3正棱台（圆台）的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半，其中分别是正棱台上下底面的边长，为斜高；，其中分别
2、是圆台上下底面的半径，为母线长；4球面面积等于它的大圆面积的四倍，为球的半径1除了球面，这里提到的其它几何体的表面都可以展开，侧面积公式和表面积公式可以直接推导出来2要提醒学生注意空间与平面问题的转化，对这几种几何体的侧面展开图，轴截面的图等有个比较清晰的印象，在计算时能灵活转化5柱体（棱柱，圆柱）体积公式：，其中为底面积，为高；6棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：，其中为底面积，为高；7台体（棱台，圆台）的体积公式： ，其中分别是台体上，下底面的面积，为台体的高；8球的体积：，为球的半径对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的祖暅原理：幂势相同，则积不容
3、异即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”卡瓦列利在他的名著连续不可分几何中提出这一原理，这本书出版于1635年课本对柱体和锥体体积公式的推导过程：长方体的体积；利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：；利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为；利用两个锥体做差可得台
4、体的体积公式（二）典例分析： 【例1】 轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱已知：等边圆柱的底面半径为r，求全面积 【例2】 轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥已知：等边圆锥底面半径为r，求全面积【例3】 已知圆台的上下底面半径分别是、，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长【例4】 底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积【例5】 侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为，则三棱锥的全面积是多少？【例6】 侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为，则三棱锥的全面积是多少？【例7】 平面截球得到半径是的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的表面积是（ ）
5、A B C D【例8】 正方体全面积为，求它的外接球和内切球的表面积【例9】 将一个边长为和的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为 【例10】 正四棱台的斜高为4，侧棱长为5，侧面积为64，求棱台上、下底的边长【例11】 正四棱台的斜高为，侧棱长为，侧面积为，求棱台上、下底的边长【例12】 正三棱台中，已知，棱台的侧面积为，分别为上、下底面正三角形的中心，为棱台的斜高，求上底面的边长【例13】 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）A B C D【例14】 棱长为的正方体的个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A
6、 B C D【例15】 如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中）【例16】 圆锥的侧面展开图是半径为的半圆面，求圆锥的母线与轴的夹角的大小，轴截面的面积【例17】 圆台的上下底面半径分别是、，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长【例18】 圆台的内切球半径为，且圆台的全面积和球面积之比为，求圆台的上，下底面半径（）【例19】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且这个圆锥的体积为求圆锥的表面积【例20】 有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为、 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个
7、四棱柱，则的取值范围是 【例21】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是【例22】 正四面体棱长为，求其外接球和内切球的表面积【例23】 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为【例24】 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于 【例25】 若，两点在半径为2的球面上，且以线段为直径的小圆周长为，则此球的表面积为_，两点间的球面距离为_【例26】 已知球的表面积为，球面上有、三点如果，则球心到平面的距离为（ ）A B C D【例27】 球面上有三点，组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，已知球
8、的半径为，且，两点的球面距离为，两点及，两点的球面距离均为，球心到这个截面的距离为，求球的表面积【例28】 设圆锥的底面半径为，高为，求：内接正方体的棱长；内切球的表面积【例29】 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（）A B C D【例30】 一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为、若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（）ABCD【例31】 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）ABCD【例32】 已知正四面体的表面积为，其四个面的中心分别为、，设四面体的表面积为，则
9、等于（ ）ABCD【例33】 已知球的表面积为，球面上有、三点如果，则球心到平面的距离为（ ）A1BCD2【例34】 已知球的表面积为，球面上有、三点如果，则球心到平面的距离为（ ）A1BCD2【例35】 棱长为1的正方体被以为球心，为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）A B C D【例36】 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【例37】 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形，俯视图是直径为的圆，如图，则此几何体的外接球的表面积为 【例38】 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_【例39】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则
10、这个正三棱柱的表面积为（）AB CD【例40】 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 【例41】 如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与，分别截于、，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别是，则必有（ ）A B C D的大小关系不能确定【例42】 如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与，分别截于、，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别是，则必有（ ）ABCD，的大小关系不能确定板块二：空间几何体的体积（一） 知识内容1柱体（棱柱，圆
11、柱）体积公式：，其中为底面积，为高；2棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：，其中为底面积，为高；3台体（棱台，圆台）的体积公式： ，其中分别是台体上，下底面的面积，为台体的高；4球的体积：，为球的半径对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的祖暅原理：幂势相同，则积不容异即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”卡瓦列利在他的名著连
12、续不可分几何中提出这一原理，这本书出版于1635年课本对柱体和锥体体积公式的推导过程：长方体的体积；利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：；利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为；利用两个锥体做差可得台体的体积公式（二）典例分析： 【例1】 侧棱长与底面边长相等的正三棱锥称为正四面体，则棱长为的正四面体的体积是_；【例2】 已知正六棱台的上，下底面边长分别为和，高为，则其体积为_【例3】 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，则球的表面积和体积的比为_【例4】 直三棱柱各侧棱和底面边长均为，点是上任意一点，连结，则三棱锥的体积（ ）ABCD【例5】 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 【例6】 已知三棱台中，高求三棱锥的体积求三棱锥的体积求三棱锥的体积【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底边的夹角为角，则此三棱柱的体积为（ ）AB CD 【例8】 在体积为的斜三棱柱中，是上的一点，的体积为3，则三棱锥的体积为（ ）A1 B C2 D3【例9】 直三棱柱各侧棱和底面边长均为，点是上任意一点，连结，则三棱锥的体积（ ）ABCD【例1
