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1、 2018 年全国初中数学竞赛试题及答案考试时间：2018 年 4 月 1 日上午 9：3011：30一、选择题：（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分以下每小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后括号里不填、多填或错填都得 0 分） + = 12x y1方程组的实数解的个数为（） + =x y6（A）1（B）2（C）3（D）4解：选（A）。当 x0 时，则有 y|y|=6,无解；当 x 0)的图像上，点 B，D 都在 x 轴上，6如图，点 A，C 都在函数 yx且使得OAB， BCD 都是等边三角形，则点 D 的坐标为A(
2、a, 3a),C(2a + b, 3b) ，把点 A，C 坐标代入 y =即 D(2a + 2b,0) = D(2 6,0)，解得：a = 3, b = 6 - 3 ，x7如图，在直角三角形 ABC 中，ACB = 90，CA = 4点 P 是半圆弧 AC 的中点，连接 BP，线段 BPP是OACQ22224。A8如图，A+B+C+D+E+F+G = n90，则n =第7题图BBCGE的图像与线段 AB 只有一个交点，则a 的取值范围是12a -3 22（1）若图像的顶点在 AB 上，则有(1)=1+ a -3+ 3 0f (1)=1+ a -3+ 3 0 f（2）若图像的顶点在 x 轴下方，
3、则有f (2) = 4 + 2(a -3)+ 3 0, f1-1 a 0, x x = (a + b) 0x 0, x 0，由 x知12121212 x下证（1） x12= xD = (ab) - 2(a + b) = 0 (ab) = 2(a + b)， ，事实上，若 x，则2212= 2( + ) 2(1+1) = 4即 aba b2( + )，因 a，b 为正整数,所以 ab1，2，3 或 4，11abab(ab) = 2(a + b)易知不存在 a，b 的值满足2 x（2）不妨设 x122x xa + b 1 1= + 2=x x x + x 2x，则，即1 2x + x1aba b1
4、21222 2xx =11所以有 x，因 是正整数，故11=1代入原方程得，1- ab + (a + b) = 02 - ( + ) - 2 = 0即 ab a b4 - 2( + ) +1= 5，也即 ab a b把 x121所以(2a -1)(2b -1) = 5，因 a,b 都是正整数，2a -1=12a -1= 5a =1a = 3b =1,或或则 解得：2b -1= 5,2b -1=1,b = 3, + x = ab x =13-1 = 2由 x得122综上，存在正整数 a1，b=3 或 a=3，b=1，使得12 - abx + ( + ) = 0a b=1, = 2。方程 x有两个
5、整数解为 xx221DE AD=CF BC13如图，点 E，F 分别在四边形 ABCD 的边 AD，BC 的延长线上，且满足若 CD，FE 的延长线相交于点 G，DEG 的外接圆与CFG 的外接圆的另一个交点为点 P，连接 PA，PB，PC，PD求证：AD PD=BC PC（1）；（2）PABPDCPG证明：（1）连结 PG，PE，PF，四边形 PGED 和四边形 PGFC 都内接于圆PGE + PDE =180 PDE = PCFPGF + PCF =180 DPCE DPCFEDAPED = PGD = PFCPD DE =PC CFAD PD=BC PCFCBAD DE=BC CFPDE
6、 = PCF PDA = PCB DPAD DPBC AD PD=BC PC（2）APD = BPC APB = DPC DPAB DPDC PA PDPA PB=PD PC=PB PC14（1）是否存在正整数m ， n ，使得m(m + 2) = n(n +1)？（2）设k(k 3)m nm(m + k) = n(n +1)是给定的正整数，是否存在正整数 ， ，使得 ？解：（1）由 m(m + 2) = n(n +1)得：(m +1) = n + n +122 n + n +1 (n +1)n2 + n +1不是完全平方数，即 m+1 不是正整又因为当 n 为正整数时，n222 ，所以数，故不存在正整数m ，n ，使得 m(m + 2) = n(n +1)(2)当 k=3 时，由m(m + 3) = n(n +1)得：m + 3m - n(n +1) = 0，2D = 9 + 4n(n +1) = 8 +
