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1、力 学 习 题 课 (2006.2.22)说明：数学表达式中字母为黑体者表示矢量 教学基本要求力学1.掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度、加速度。能计算质点做圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。2.掌握牛顿三定律及其适用条件。能用微积分方法求解一维变力作用下简单的质点动力学问题。3.掌握功的概念，能计算直线运动情况下变力的功。理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力和万有引力势能。4.掌握质点的动能定理和动量定理，通过质点在平面内的运动情况理解角动量（动量矩）和角动量守恒定
2、律，并能用它们分析、解决质点在平面内运动时的简单力学问题。掌握机械能守恒定律、动量守恒定律，掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题。5.了解转动惯量概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。6.理解伽利略相对性原理，理解伽利略坐标、速度变换。 内容提要1一、运动学1.基本物理量(1).位置矢量(运动方程) r = r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k，速度v = dr/dt = (dx/dt)i+(dy/dt)j + (dz/dt)k，加速度 a=dv/dt=(dvx/dt)i+(dvy/dt)j
3、 +(dvz/dt)k=d2r/dt2=(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j + (d2z/dt2)k，切向加速度 at= dv/dt，法向加速度 an= v2/r .(2).圆周运动及刚体定轴转动的角量描述 q=q(t)， w=dq/dt， b= dw/dt =d2q/dt2，角量与线量的关系 l=rq， v=rw (v= wr)，at=rb, an=rw2。2.相对运动 v20=v21+v10， a20=a21+a10.二、质点动力学1.牛顿三定律(略)；惯性系(略)；非惯性系(略)；惯性力:平动加速参照系 F惯= -ma(a为非惯性系相对惯性系的加速度).匀速转动参照系的惯性离心力
4、 F惯= mw2r2.动量 P=mv，冲量 ，质点及质点系的动量定理=P2P1，动量守恒定律：(1) F外=0， p=恒量，(2) (F外)某方向=0，p某方向=恒量，(3) F外f内，p恒量(F外) 某方向( f内) 某方向，p某方向恒量3.功 功率 P=Fv，动能定理 保守力 ，势能 ，重力势能(以坐标原点为势能零点) Ep=mgy引力势能(以无限远为势能零点) Ep=-GMm/r弹性势能(以无伸长点为势能零点)Ep=kx2/2 势能公式 ； 功能原理 ；机械能守恒 条件 A外=0，A非保内=0，结论 E=Ek+Ep=恒量。三、刚体的定轴转动力矩 转动惯量 ， 转动定律 ； 角动量: 质点
5、 刚体L=Iw；角动量原理 =L-L0角动量守恒 M=0时, L=恒量力矩的功 ，功率 ；转动动能 ，刚体定轴转动的动能定理 5 练习一至练习九答案及简短解答练习一 位移 速度 加速度一.选择题 C B A B D二.填空题1. 2.2. 6 t ; t+t33. -w2r或-w2 (Acoswti+Bsinwtj) x2/A2+y2/B2=1三计算题1.取坐标如图,船的运动方程为v0hxyOx=l2(t)-h21/2因人收绳(绳缩短)的速率为v0,即dl/dt=-v0.有u=dx/dt=(ldl/dt)/ (l2-h2)1/2=- v0 (x2+h2)1/2/xa= dv/dt=- v0x
6、(dx/dt)/ (x2+h2)1/2/x-(x2+h2)1/2/x2 (dx/dt) =- v0-h2/ x2 (x2+h2)1/2 - v0 (x2+h2)1/2/x=- v02h2/ x3 负号表示指向岸边.v0xyOaq2. 取坐标如图,石子落地坐标满足 x=v0tcosq=scosa y=v0tsinq-gt2/2=ssina解得 tana= tanq-gt/(2v0cosq)t=2v0sin(q-a)/(g cosa)s=x/cosa= v0tcosq / cosa=2v02sin(q-a)cosq /(g cos2a)当v0,a给定时,求s的极大值. 令ds/dq=0,有ds/d
7、q=2v02/(gcos2a)cos(q-a)cosq- in(q-a)sinq=2v02 cos(2q-a)/(gcos2a) 由此可得cos(2q-a)=0推出2q-a=p/2得q=p/4+a/2所以,当q=p/4+a/2时, s有极大值,其值为smax=2v02sin(p/4-a/2)cos(p/4+a/2)/(g cos2a)= v02sin(p/2)-sina /(g cos2a)= v02(1-sina)/(g cos2a)练习二 圆周运动 相对运动一.选择题 B B D C A 二.填空题1. 79.5m.2. 匀速率,直线, 匀速直线, 匀速圆周.3. 4ti-psinptj,
8、 4i-p2cosptj,4m/s2,9.87m/s2.三.计算题1. M的速度就是r变化的速度,设CA=R.由r2=R2+l2-2RlcoswtR/sina=r/sinwt得2rdr/dt=2Rlwsinwt=2lwsinwt r sina /sinwtv=dr/dt=lwsina或 v=dr/dt=lwRsinwt/r = lwRsinwt/( R2+l2-2Rlcoswt)1/22. 取向下为X正向,角码0,1,2分别表示地,螺帽,升降机.依相对运动,有a12=a10-a20a12=g-(-2g)=3gh= a12t2/2t=2h/(3g)1/2=0.37sv0=a20t0=-2gt0x
9、=v0t+gt2=-2gt0t+gt2代入 t0=2s, t=0.37s, 得x=-13.8m螺帽上升了 s=13.8m练习三 牛顿运动定律一.选择题 E C A D A 二.填空题1. (1)式, 铅直方向无加速度,小球的向心加速度在绳子方向上有投影.2. (mg/r)1/2.3. (m1l1+m2l1+m2l2)w2, m2(l1+l2)w2.三.计算题Tm1gm2gfm1. 受力分析如图,有m1gT=m1a10fm m2g=m2a20fm =T用角标0、1、2分别表示地、绳(绳与m1的加速度的大小相等)、m2,向上为坐标正向,因a20=a21+a10 有 a20=a10-a2解得m1、m
10、2的加速度,环与绳间摩擦力分别为a10=(m1-m2)g+m2a2/(m1+m2) a20=(m1-m2)g-m1a2/(m1+m2) fm=T=(2g-a2)m1m2/(m1+m2)2 (1) fm =-kv=mdv/dt，v=v0e-kt/m (2) v=dx/dt练习四 动量守恒定律 动能定理一.选择题 B C B D A 二.填空题1. 2.2. ,相反3. 3.5.三.计算题1.取质点在b点处的速度方向为X正向, 向下为Y正向.因周期为T=2pr/v有重力的冲量I1= mgpr/v,方向向下合力的冲量(应用冲量定理)I=mv0(mv0)=2 mv0张力的冲量 I2=II1=2 mv0
11、i(mgpr/v)j其大小为 I2=(2 mv0)2+(mgpr/v)21/2 = m 4v02+(gpr/v)21/2与Y轴的夹角 a=arctan(I2x/I2y)= arctan2mv0/(mgpr/v0)=parctanv02/(pgr)2.设绳子的质量线密度为r(r=dm/dl=m/l),t时间内落至桌面的绳子对桌面的压力设为G，即 N1=rgx=G，dt时间内碰到桌面的绳子dm=rdx受桌面的力N 2, 依动量定理,有(-N 2+rdxg)dt-N 2dt=rdx(0-v)=-rdxvN 2=rvdx/dt=rv2=r(2gx)N2=r(2gx)故t时刻绳子对桌面的压力为N=N1+
12、N2=3rgx=3G练习五 机械能守恒定律 碰撞一.选择题 A A D B C 二.填空题1. k(x+x0)2/2, k(x+x0)2/2kx02/2, kx2/2.2. 2GMm/(3R), GMm/(3R).3. 9.8J, 0, 5.8J, 不能.三.计算题1. (1). =31J(2).依动能定理,有，得 v=(2A/m)1/2=5.34m/s；(3).因其功只与始末态(即只与x1、x2)有关，故为保守力2. 用角标1、2分别表示甲球和乙球,碰撞前 v10=(2gl)1/2 v10=0因是弹性碰撞,且m1=m2=m,碰后有v1=0 v2=(2gl)1/2D点处 mv22/2= mvD
13、2/2+mgR(1cosq)mgl= mvD2/2+ mg (l/2)(1cos60)= mvD2/2+ mg l/4vD= (3g l/2)1/2正压力 N=mgcos60+ mvD2/R=7mg/2练习六 刚体的定轴转动一.选择题 B C D A A 二.填空题1. .2. mr2/2, MR2/2, .3. RB:RA, 1:1, 1:1, RB:RA.三.计算题1.任意时刻杆与铅直方向成q角M=mg(l/2)sinq=Jamglsinq /2=(ml2/3)a=(ml2/3)dw/dtdw/dt=3gsinq /(2l)=(dw/dq)(dq/dt)=wdw/dqwdw= 3gsinq dq /(2l)w2/2=3g/(4l)w=3g/(2l)1/2a=3gsin60/(2l) = 3g/(4l)2.以圆盘中心轴为心取圆环微元rdrdm=sdS=s2prdr s =m/(pR2)dfm=mdmg=ms2prdrgdMm=rdfm=2pmsgr2drMm= =2pmsgR3/3=2mmgR/3 练习七 角动量 角动量守恒定律一.选择题 C A A
