《圆锥曲线简介.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线简介.doc（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线简介圆锥曲线圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率e）的点的集合是圆锥曲线。对于0 e 1得到双曲线。圆锥曲线的类型圆锥曲线方程离心率（e）半焦距（c）半正焦
2、弦（）焦点准线距离（p）圆椭圆抛物线双曲线圆锥曲线的类型：1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。抛物线：截面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。几何性质椭圆（Ellipse)椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。抛物线（Parabola)抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。双曲线（Hyperbo
3、la)双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。离心率有固定焦点F和准线的椭圆 (e=1/2)、抛物线 (e=1)和双曲线 (e=2)。对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是，这里的是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是。在圆的情况下，e = 0且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。对于一个给定的, 越接近于1，半短轴就越小。笛卡尔坐标在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，并且所有圆锥曲
4、线都以这种方式引出。方程有如下形式有着参数，和不得皆等于。 如果，方程表示椭圆（除非圆锥曲线退化了，例如）； 如果且且,方程表示圆； 如果，方程表示抛物线； 如果，方程表示双曲线； 如果还有，方程表示直角双曲线。注意这里的 和 就是多项式系数，不是前面定义的半长/短轴的长度。通过坐标变换这些方程可以变为标准形式：圆椭圆抛物线双曲线标准方程参数方程或极坐标编辑椭圆的半正焦弦圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为l，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴a，和半短轴b，通过公式或。在极坐标系中，圆锥曲线有
5、一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程，或者，如上，对于e = 0得到一个圆，对于0 e 1得到双曲线。齐次坐标编辑在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：或表示为矩阵：矩阵叫做“圆锥曲线矩阵”。叫做圆锥曲线的行列式。如果 = 0则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。例如，圆锥曲线退化为两相交直线：。类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）: 。被称为圆锥曲线的判别式。如果 = 0则圆锥曲线是抛物线，如果0则是椭圆。如果0且A1 = A2，圆锥曲线是圆；如果 1的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是 (1,i,0)和（1,-i,0），则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线不是椭圆不是双曲线。
