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1、优选文档概率论第四章习题解答1（1）在以下句子中随机地取一个单词，以X表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X的分布律并求数学希望E(X)。21“THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT”（2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求E(Y)（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次获取的点数；否则得分为第一次获取的点数，且不能够再掷，求得分X的分布律。解（1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X的取值为：2,3,4，9，其分布律为所以2349E(X)2135419115。8
2、8884（2）由于Y的取值为2,3，4，9当Y2时，包含的字母为“O”，“N”，故PY2C121；15当Y3时，包含的3个字母的单词共有5个，故当Y4时，包含的4个字母的单词只有1个，故当Y9时，包含的9个字母的单词只有1个，故2349E(Y)2131429314673。15215103015（3）若第一次获取6点，则能够掷第二次，那么他的得分为：X7,8，9,10，11,12；若第一次获取的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X的取值为：1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。X12345789101112某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产
3、品进行检验，若是发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)。（设诸产品可否为次品是相互独立的。）解（1）求每次检验时产品出现次品的概率由于每次抽取0件产品进行检验，且产品可否为次品是相互独立的，所以可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y，则Y:B(10,0.1)，于是有PYkC10k(0.1)k(0.9)10k（2）一次检验中不需要调整设备的概率则需要调整设备的概率PY11PY10.73610.2639（3）求一天中调整设备的次数X的分布律由于X取值为0，1，2，3，4。p0.2369，则X:B(4,0.2369
4、)于是PX0C40(0.2639)0(0.7361)40.2936012340.29360.42110.22630.0540.0049（4）求数学希望1.0556。3有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X表示其中最少有一只球的盒子的最小号码（比方X3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子最少有一只球。）试求E(X)。解（1）求X的分布律由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有4364种放法。其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，进而PX41；64又X3“X3”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，进而3只球只能放在第3、4号
5、两个盒子中，共有238种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不吻合X3这一要求，需要除去，故有“X2”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，进而3只球只能放在第2、3、4号三个盒子中，共有3327种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，共有238种放法，即2号盒子是空的，这不吻合X2这一要求，需要除去，故有即1234（2）求E(X)E(X)1372193741100251.5625。6464646464164（1）设随机变量X的分布律为PX(1)j13j2，（j1,2,3,L），说明X的数学j3j希望不存在。（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球
6、，作摸球游戏，规则以下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，尔后再从盒中随机地摸取一只球。试说明要游戏结束的摸球次数X的数学希望不存在。解（1）由于级数(1)j13jP(1)j13j(1)j13j22(1)j1，j1jjj1j3jj1j这是一个莱布尼茨交叉级数，收敛而非绝对收敛。所以其数学希望不存在。2）以Ak记事件“第k次摸到黑球”，以Ak记事件“第k次摸到白球”，以Ck表示事件“游戏在k次摸球时结束”，k1,2,3,L。按题意，CkA1A2LAk1Ak，由乘法公式得而PX11P(A1)212111，P(A2|A1A2)P(A2|A1)P(A1
7、)43243一般地，若当Xk时，盒中共有k1只球，其中只有一只白球，故若E(X)存在，则依照数学希望的定义，就有E(X)kP(Xk)k111，k1k1k1kk1k1而调停级数1倒是发散的，此即表示数学希望E(X)不存在。k1k15设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以min计）是一个随机变量，其概率密度为求E(X)解按连续型随机变量的数学希望的定义有设随机变量X的分布律为2020.40.30.3求E(X)，E(X2)，E(3X25)（2）设X:()，求E11X解E(X)20.400.320.302；或由于040.30.7所以E(X2)00.340.72.8。（2）由于ke
8、，k0,1,2,Lpkk!所以11kekEek0(k1)!X1k0k1k!（注在公式E(X)xkpk中现在的xk1，pkke，ke）k0k1k!k0k!（1）设随机变量X的概率密度为求（）Y2X，（）Ye2X的数学希望；（2）设随机变量X1，X2，Xn相互独立，且都遵从（0，1）上的均匀分布（）求（）求maxX1,X2,L,Xn的数学希望，minX1,X2,L,Xn的数学希望。解（1）E(Y)E(2X)2xf(x)dx2xexdx0e3xdx1e3x01。033（2）由于（）由于随机变量X1，X2，Xn相互独立，且都遵从（0，1）上的平均分布，其概率密度为其分布函数为而UmaxX1,X2,L,
9、Xn的分布函数为0,z0即Fmax(z)zn,0z1，1,z0于是fmax(z)nzn1,0z10,其他zfmax(z)dz1nnn11n。E(Z)nzdzz00n1n1（）VminX1,X2,L,Xnn0u)un1du（令u1z）(111nun111n。u0n0n11设随机变量(X,Y)的分布律为12310.20.100.010.10.00.30.10.10.11）求E(X)，E(Y)；（2）设ZY，求E(Z)；X（3）设Z(XY)2，求E(Z)。解（1）由已知分布律知其边缘分布为12310.20.10.300.00.410.10.00.30.30.10.10.10.40.210.4E(X)
10、10.420.230.42；E(Y)10.300.410.30。（2）由已知的分布律有0.20.050.10.050.11。315（3）Y)233)2pijE(Z)E(X(xiyjj1i1220320.3020.1120.1220.15。或先求出(XY)2的分布律，再求对应的数学希望PZ0P(XY)20PX1,Y10.1,即01490.10.20.30.4所以E(Z)00.110.240.390.45。9（1）随机变量(X,Y)的概率密度为求E(X)，E(Y)，E(XY)，E(X2Y2)；（2）随机变量(X,Y)的概率密度为求E(X)，E(Y)，E(XY)解（1）E(X)xf(x,y)dxdy1x2d
