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1、黄金试题第10讲 柱锥台球的表面积和体积学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.知识要点：表面积相关公式表面积相关公式棱柱圆柱 （r：底面半径，h：高）棱锥圆锥 （r：底面半径，l：母线长）棱台圆台（r：下底半径，r：上底半径，l：母线长）例题精讲：【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：设圆台的母线长为，则圆台的上底面面积为，圆台的上底面面积为，所以圆台的底面面积为.又圆台的侧面积，于是，即为所求.【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积
2、.解：由三视图知正三棱柱的高为2mm. 由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为. 设底面边长为a，则， . 正三棱柱的表面积为.【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01 m2） 解：上部分圆锥体的母线长为， 其侧面积为.下部分圆柱体的侧面积为 .所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为（m2）.点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是体积计算.【例4】有一根长为10 cm，底面半径是0.5 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠
3、绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01 cm）解：如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.由题意知，BC=10 cm, , 点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度. .所以，铁丝的最短长度约为27.05 cm. 点评：此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.第5练 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积基础达标1
4、用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）. A. 8 B. C. D. 2圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ）. A. 7 B. 6 C. 5 D. 33一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. A. B. C. D. 4一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是9cm和15cm，高是5cm，则这个直棱柱的侧面积是（ ）. A. 160 cm2 B. 320 cm2 C. cm2 D. cm25（04年湖北卷.文6）四面体ABCD四个面的重心分别为E
5、、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（ ）.A BCD6如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，分别是两底面的直径，是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是 （结果保留根式） 7已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为 . 能力提高8六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13 cm，求它的表面积. 9一个圆锥的底面半径为R，高为H，在这个圆锥内部有一个高为x的内接圆柱. 当x为何值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？探
6、究创新10. 现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm，底面的长是25cm，宽是20cm设水箱里盛有深为cm的水，若往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块，试求水深. 第6讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识要点：1. 体积公式：体积公式体积公式棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系： .例题精讲：【例
7、1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .解：设长方体的长宽高分别为，则，三式相乘得.所以，长方体的体积为6.【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域. 解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为.在中，, 所以, 于是.依题意函数的定义域为.【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .解：容器中水的体积为
8、.流出水的体积为，如图，.设圆柱的母线与水平面所成的角为，则，解得.所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60.点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.【例4】在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积. hr 解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的. 设扇形半径为x，圆半径为r，则 ， x=4r ， .又 AB=， ，解得.圆锥的高，.点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系. 搞清平面图形
9、上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化. 第6练 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积基础达标1已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则（ ）. A. B. C. D. 2三棱锥VABC的底面ABC的面积为12，顶点V到底面ABC的距离为3，侧面VAB的面积为9，则点C到侧面VAB的距离为（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 63若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）.俯视图主视图左视图 A. B. C. D. 4矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b旋转一周时,
10、 所形成的几何体的体积之比为（ ）. A. B. C. D. 5如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）. A B . C. D . 6已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_.7（04年广东卷.15）由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系: 能力提高8有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，求它的深度为多少cm？ 3517h129用上口直径为34cm、底面直径为24cm、深为35cm的水桶盛得的雨水正好为桶深的，问此次降雨量
11、为多少？（精确到0.1mm）（注：降雨量指单位面积的水平面上降下雨水的深度）探究创新10养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m. 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐. 现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m（高不变）；二是高度增加4 m (底面直径不变).（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？第7讲 1.3.2球的体积和表面积学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关
12、实际问题.知识要点：1. 表面积： （R：球的半径）. 2. 体积：.例题精讲：【例1】有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径（钢的密度为，精确到）解：设空心球内径(直径)为，则钢球质量为， ，直径，即空心钢球的内径约为.【例2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，又，.【例3】（04年辽宁卷.10）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.ABCD【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上. AB=BC=CD=D
13、A=3， 四边形为正方形. 小圆半径. 由得，解得. 球的体积. 所以选A.点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质，体积和表面积公式.【例4】推导球的表面积公式.解：设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积.以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高.因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：，又，且， 可得.又 ， 即为球的表面积公式点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径作等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和.第7练 1.3.2球的体积和表面积基础达标1正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）. A. B. C. D.
