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1、第六章 概率初步2 频率的稳定性（第2课时）银川市第十五中学 王晓文一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在此前的学习中已经会求简单事件发生的可能性。对简单事件发生的可能性能够做出预测，并阐述自己的理由。前面一节课中又学习了在实验次数很大时，不确定事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动。学生具备了进一步学习由不确定事件发生的频率来估计事件发生的概率的能力。学生活动经验基础：通过本节第1课时的学习，学生在掷图钉游戏中，已经学会了如何做试验，如何统计，如何观察统计图，初步了解了在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，同时学生知道了很多不确定事件发生的可能性是不能计算的，这要通过大量的
2、试验用频率来估计可能性的大小，这为本节课的认知奠定了基础。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析本节课是频率的稳定性第二课时内容，本节课上连非等可能事件的概率，下接等可能事件的概率，是一节估计概率到计算概率的过渡课，从教材内容的编排上来看，本节内容起着承上启下的作用。频率的稳定性这节内容分两课时完成，这两课时的共同点是，第1课时“掷一枚图钉”活动与第2课时“抛一枚硬币”活动都要通过试验来完成，也就是都要让学生结合具体情境完整地经历猜想试验收集试验数据分析试验结果验证猜测”等过程，在这个过程中要让学生初步
3、认识到在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性。这也体现了概率教学本身的要求，即概率的学习一定要以试验为基础。不同点是 “掷一枚图钉”是非等可能事件，没有理论概率，而“掷一枚硬币”是等可能事件，它有理论概率。 教材这样的安排说明不论试验有没有理论概率，事件发生的频率都具有稳定性，这一稳定的数值即为事件发生的概率，为后续等可能事件概率的学习奠定了基础。正因为“掷一枚硬币”存在理论概率，这个0.5就很重要了，教材中提供了历史上数学家的试验数据。基于以上分析，为了能在课堂上，在短时间内做大量试验，感受频率的稳定性，我在本节课的教学设计中，采用真实试验和计算机模拟试验，这两种试验串联的方法，通过
4、可视化教学，力图实现教学的实效性。教学目标：1.知识与技能:学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题,解决问题的能力；2.过程与方法:通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法；3.情感态度与价值观:通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力。教学重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。教学难点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。三、教学过程分析第一环节 提出问题，引入新课活动内容：1. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上与正
5、面朝下的可能性相同吗？2掷一枚质地均匀的硬币10次，其中有6次出现正面朝上，则正面朝上的频率是多少？正面朝下的频率又是多少？3.频率的定义和计算方法:在n次重复试验中,不确定事件A发生了m次,则比值mn称为事件发生的频率。活动目的：通过三个问题，完成本环节的活动任务。第1个问题，让学生体会猜测结果，这是很重要的一步，我们所学到的很多知识，都是先猜测，再经过多次的试验得出来的。而且由此引出猜想是需通过大量的试验来验证。这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题）。第2个问题，通过计算具体问题中正面朝上的频率和正面朝下的频率，复习频率的计算公式，体会频数之和等于总数，频率之和等于1。第3个问题，
6、复习频率计算公式，为后续用频率估计概率，以及计算概率的取值范围做好铺垫。第二环节 试验串联，发现规律活动内容：1. 分组试验（1）三人一组做20次掷硬币（壹圆）游戏，并将数据填在下表中：试验总次数20正面朝上的次数正面朝下的次数正面朝上的频率（正面朝上的次数/试验总次数）正面朝下的频率（正面朝下的次数/试验总次数）（2）计算机统计数据，绘制折线统计图，每20个数据累计一次，分别累计进行到320次，将每组数据输入在m1到m16中：（3）观察统计表、折线统计图，你发现了什么？2. 计算机模拟试验观察电脑绘制的统计图，你又发现了什么？知识小结: 当试验次数很大时，硬币“正面朝上”的频率会在常数0.5
7、的附近摆动，即硬币“正面朝上”的频率具有稳定性。3.出示历史上数学家计算机模拟试验试验者投掷次数n正面出现次数m正面出现的频率m/n布 丰404020480.5069德摩根409220480.5005费 勒1000049790,4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维 尼30000149940.4998罗曼诺夫斯基80640396990.4923表中的数据支持你发现的规律吗？活动目的：通过两种试验（真实试验和模拟试验）的串联，以及数学家的试验数据，次数由少到多，层层递进，感受频率的稳定性。用计算机做模拟 “掷硬币”试验能在短时间内实现大量的重复性试验
8、，弥补传统教学手段的不足，实现量的突破，并能做到可视化，但是它缺乏试验的过程和试验的乐趣。在课堂教学中还是应该让学生分组实际做试验， 拿出纸笔做记录，然后全班统计。之后再通过计算机模拟试验，以及用数学家的试验数据，自然而然的得出：当试验次数较大时，正面朝上的频率在常数0.5的附近摆动。达到对“常数”，“试验次数很大”，“稳定性”的含义有一定的认识和理解，实现对自己猜想的验证。第三环节 合作交流，探究新知活动内容：1.正确理解频率的稳定性，概率的概念。（1）在实验次数很大时事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动，这个性质称为 ：频率的稳定性。（2）我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为
9、事件A的概率，记为P(A)。（3）一般的，大量重复的实验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。2. 通过上面的试验，请你估计掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和正面朝下的概率分别是多少？它们相等吗？P(正面朝上)=0.5，P(正面朝下)=0.53.事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？必然事件发生概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少？0P(A)1；必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数。活动目的：对于活动1，通过学生阅读，找关键词的方法，得出当试验次数很大时频率具有稳定性，又因为频率会在一个常数附近摆动，这
10、又说明频率具有变化性和不确定性。通过对不确定事件发生的频率来估计事件发生的概率，为后续内容做好铺垫。活动2，主要是概率的应用，正面朝上的概率=正面朝下的概概率，为后续游戏是否公平做好铺垫，教学时注意书写格式，同时对上课前提出的问题给出一个准确的回答。活动3，可以采用先独立思考后合作交流的形式得出结论，使学生进一步感受频率和概率之间的关系，通过频率的取值范围，得出概率的取值范围。第四环节 应用新知，解决问题活动内容：1.小凡做了5次掷均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此他认为正面朝上的概率大约为35，朝下的概率为25,你同意他的观点吗？你认为他再多做一些试验，结果还是这样吗？2
11、.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5 ,那么，掷100次硬币，你能保证恰好50次正面朝上吗？与同伴进行交流。活动目的：通过第1题再次说明，当试验次数较少时，频率不具有稳定性，只有试验次数较大时，频率才具有稳定性，人们正是利用这一性质，常常做一些选择，比如抛硬币选场地。第2题是频率和概率之间关系的应用，频率在概率附近摆动，说明频频是一个近似值，频率有可能比概率大一点，也有有可能比概率小一点，也有可能正好等于概率，说明频率仍然具有变化性和不确定性，所以我们无法保证敲好50次正面朝上，此题可以用计算机当堂进行试验，来感受频率和概率之间的关系。同时渗透，频数可以用概率乘以试验次数来大致计算。
12、第五环节 回忆思考，归纳小结活动内容：本节课你有什么收获？活动目的：让学生畅谈收获,进一步巩固所学知识,同时, 师生互相交流，什么是频率的稳定性，如何估计事件发生的概率。第六环节 布置作业课本习题6.3四、教学设计反思1开展游戏活动，感悟由少到多的统计思想。教学中教师设计掷硬币游戏，经历了一番前人发现这个结果的“浓缩”过程，逐步认识了统计数据是如何由少到多的。在这个过程中学生有了真实的体验，积累了很多活动经验，感受到了游戏的乐趣。在这个过程中教师没有包办代替学生的试验，给学生提供了充分的试验、交流、展示的机会。可以说教师是通过落实过程性目标来促进了知识性目标的达成，有效地落实了本节课的教学目标
13、。同时教师为了有效利用时间，采用学生试验与计算机统计相结合的形式，有效地促进了学生的学习。由于课堂教学时间有限，而教学中又必须让学生感受到“大量试验”后频率的变化情况，于是在教学中力求做好真实试验和电脑模拟试验的串联，教师利用几何画板软件进行模拟试验，绘制统计图，做到了可视化教学，实现了量的突破，弥补了传统教学手段的不足。学生直观地看到统计图的变化，频率的变化，丰富了学生的学习形式，极大地调动了学生学习的积极性，帮助学生很好地实现了教学目标。3注意改进的方面。提出问题后应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组合作给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。教师应注意激发学生的内在动机，通过学生的发现给他们带来满意和内在的激励。
