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1、珠海培优家教 珠海学子家教 台州思敏家教 湛江智慧家教 集合与函数的概念一、基础知识梳理(一)集合1.集合的基本概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合.集合中元素必须具备以下三个特征:确定性:指集合中的元素是确定的。对于一个给定的集合,任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的,只有“属于”与“不属于”两种情况,两者必居其一;互异性:指给定的一个集合的元素中,任何两个元素都是不同的,因而在同一个集合中,不能重复出现同一元素;无序性:集合中的元素无前后顺序之分.元素和集合的关系是和 ,二者有且只有一种成立。2.集合的表示方法集合的一般表示方法主要有:列举法:把集合中的元素一一列举出来的方法.注意
2、:用列举法表示集合时,须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”。描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.描述法的格式:x|p(x),xA,其中,大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”,竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围(即判断对象是否属于集合的确定的条件).Venn图示法:用平面上封闭的曲线的内部直观形象地表示集合.3集合间的基本关系子集:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素(若aA,则aB),则称集合A为集合B的子集,记作:AB或BA,读作:“集合A含于集合B”或“集合B包含集合A”;A与B不具有包含关系,记作:A B或B A。理
3、解:若xA xB,则AB规定:空集是任何集合的子集,即:对任何一个集合A,都有A显然:任何一个集合都是自身的子集, 即AA.相等:若AB且BA,则A=B.真子集:若AB且AB;则AB(即A是B的真子集).特例:空集是任何非空集合的真子集.有关性质: AB且BA;AB,BC AC; AB,BC AC.若集合A有n个元素,则A的子集个数为2n,真子集个数为2n1个。4集合的交、并、补运算交集:由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集,记作AB,即AB=x|xA,且xB;并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的并集,记作AB,即AB=x|xA,或xB;补
4、集:设U是一个集合,A U,由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做U中子集A的补集(或余集),记作 ,即 .如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素,则将U称为全集。 交集、并集、补集的性质:AA=A,A = ,AB=BA,AA=A,A =A,AB=BA.ABA,ABB,ABA,ABB.AB=A A B,AB=A B AA = ,A =U. , (AB)C=(AC)(BC),(AB)C=(AC)(BC)。(二)函数及其表示1函数的三要素构成函数的三要素:定义域A,对应法则f,值域B.其中核心是对应法则f,它是联系x和y的纽带,是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出,可以是解析
5、法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后,值域也就唯一的确定了,所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可。2映射的概念设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么,这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射,记作f:AB.对于映射这个概念,应明确以下几点:映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等.映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往是
6、不一样的.映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应,而这个与之对应的元素是唯一确定的,这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应;映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多”。象与原象:f:AB,则A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象,a叫做b的原象。从象与原象的角度理解映射:象存在且唯一;B中某些元素可以没有原象。即A的象组成的集合是B的子集。3函数与映射的区别与联系函数是特殊的映射,即当两个集合A、B均为非空数集时,则从A到B的映射就
7、是函数.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.4函数的图象函数图象是函数关系的一种表示方法,它能够也必须把函数的三要素全面而直观地反映出来,它是研究函数关系、性质的重要工具,是数形结合应用的典范。5函数的表示方法列表法-列表表示函数的关系。图象法-图象表示函数的关系。解析法-用等式表示函数的关系,这个等式叫做解析式表达式。6求函数的解析式根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式,一是要求出对应法则,二是要求出函数的定义域.求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,但要
8、注意函数定义域还应由实际意义来确定.二、典题与精析例1判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.(1) 表示空集;(2)空集是任何集合的真子集;(3)1,2,3与3,2,1不相等;(4)0,1的所有子集是0,1,0,1;(5)如果AB且AB,那么B必是A的真子集;(6)AB与AB不能同时成立.解析:(1)不正确; 不表示空集,它表示以空集为元素的集合,所以(1)不正确。(2)不正确;空集是任何非空集合的真子集;不能是它自身的真子集。(3)不正确;1,2,3与3,2,1表示同一集合。(4)不正确; 是每个集合的子集,0,1的所有子集是0,1,0,1, 。(5)正确;AB包括两种情形:AB和A
9、=B.(6)不正确;A=B时,AB与AB能同时成立.评注:在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密,紧扣概念,对每个概念不仅要记住,而且要理解其本质.另外要注意的是:对于错误的说法,举一个反例即可.例2下面三个集合是否相同?它们各自的几何意义是什么?(1)y|y=2x1,xR;(2)y|y=2x1,xQ;(3)(x,y)|y=2x1,xR.解析:判断两个集合是否相同的依据是看集合中的元素是否相同,虽然三式的表达式相同,但数集的范围不同,因此,它们是不同的集合,(1)实数域中的数集;(2)有理数域中的数集;(3)直角坐标平面上一个点集(这些点在同一条直线上)。评注:解与集合有关的问题时,首先搞清楚
10、元素的性质是什么,若元素的性质不同,一定是不同的集合.其次要看元素的范围,若元素的范围不同,集合也是不同的.例3已知集合A=x|ax23x+2=0,aR,若A中元素至多只有一个,求a的取值范围.解析:(1)a=0时,原方程为3x+2=0 x= ,符合题意;(2)a0时,方程ax23x+2=0为一元二次方程,=98a0 a .当a 时,方程ax23x+2=0无实根或有两个相等实数根,这都符合题意.综合(1)(2),知a=0或a .评注:对于集合中元素的求法,要看清原来是用什么方法表示出的,有时要分类讨论.例4集合x|3x0,xZ的子集共有( )A.7个B.8个 C.6个 D.5个解析:x|3x0
11、,xZ1,2,3,所有子集是: ,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3.答案:B例5设集合A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a21=0,aR,若AB=B,求a的值.解析:首先化简集合A,得A=4,0,由AB=B,则有B A,可知集合B或为 ,或为0,或为4,或为0,4,若B= 时,=4(a1)24(a21)0,解得a1.若0B,代入得a21=0 a=1或a=1.当a=1时,B=x|x2+4x=0=0,4=A,合题意;当a=1时,B=x|x2=0=0 A,也合题意.若4B,代入,得a28a+7=0 a=7或a=1.当a=1时,已讨论,合题意;当a=7时,B=x|x2
12、+16x+48=0=12,4,不合题意.由得,a=1或a1.评注:此题考查分类讨论思想,以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题.这称为数学的化归思想,是数学思想的常用方法,在高考中重点考及.例6判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.(1)y=x1,xR与y=x1,xN;(2)y= 与y= ;(3)y=1 与u=1 ;(4)y=x2与y=x ;(5)y=2|x|与y= 分析:此题的考查目的在于强化函数是三要素构成的整体,且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的,判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同.解析:(1)不同,
13、因为它们的定义域不同;(2)不同,前者的定义域是x|x2或x2,后者的定义域是x|x2;(3)相同,定义域均为非零实数,对应法则都是自变量取倒数后加1;(4)不相同,定义域是相同的,但对应法则不同,值域不同,前者的值域是y|y2,后者的值域是y|yR;(5)相同,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值,结果就是 例7已知f(x+1)=x2+4x+2,求f(x);已知f(x)满足2f(x)+3f( )=4x,求函数f(x)的解析式;已知: ,求ff(-1)。解析:解法一:f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1f(x)=x2+2x-1解法二:令x+1=t,x=t-1,f(t)=