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1、珠海培优家教 珠海学子家教 台州思敏家教 湛江智慧家教 集合与函数的概念一、基础知识梳理（一）集合1.集合的基本概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合.集合中元素必须具备以下三个特征：确定性：指集合中的元素是确定的。对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“属于”与“不属于”两种情况，两者必居其一；互异性：指给定的一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一元素；无序性：集合中的元素无前后顺序之分.元素和集合的关系是和 ，二者有且只有一种成立。2.集合的表示方法集合的一般表示方法主要有:列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.注意
2、：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”。描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.描述法的格式：x|p(x),xA，其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.Venn图示法：用平面上封闭的曲线的内部直观形象地表示集合.3集合间的基本关系子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素（若aA，则aB），则称集合A为集合B的子集，记作：AB或BA，读作：“集合A含于集合B”或“集合B包含集合A”；A与B不具有包含关系，记作：A B或B A。理
3、解：若xA xB,则AB规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有A显然：任何一个集合都是自身的子集, 即AA.相等：若AB且BA，则A=B.真子集：若AB且AB；则AB（即A是B的真子集）.特例：空集是任何非空集合的真子集.有关性质： AB且BA；AB，BC AC； AB，BC AC.若集合A有n个元素，则A的子集个数为2n，真子集个数为2n1个。4集合的交、并、补运算交集：由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，即AB=x|xA,且xB；并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，即AB=x|xA,或xB；补
4、集：设U是一个集合，A U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集），记作 ，即 .如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则将U称为全集。 交集、并集、补集的性质：AA=A，A = ，AB=BA，AA=A，A =A，AB=BA.ABA，ABB，ABA，ABB.AB=A A B，AB=A B AA = ，A =U. ， （AB）C=（AC）（BC），（AB）C=（AC）（BC）。（二）函数及其表示1函数的三要素构成函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域B.其中核心是对应法则f，它是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出，可以是解析
5、法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可。2映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB.对于映射这个概念，应明确以下几点：映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等.映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是
6、不一样的.映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一确定的，这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”。象与原象：f：AB，则A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。从象与原象的角度理解映射：象存在且唯一；B中某些元素可以没有原象。即A的象组成的集合是B的子集。3函数与映射的区别与联系函数是特殊的映射，即当两个集合A、B均为非空数集时，则从A到B的映射就
7、是函数.所以函数一定是映射，而映射不一定是函数.4函数的图象函数图象是函数关系的一种表示方法，它能够也必须把函数的三要素全面而直观地反映出来，它是研究函数关系、性质的重要工具，是数形结合应用的典范。5函数的表示方法列表法-列表表示函数的关系。图象法-图象表示函数的关系。解析法-用等式表示函数的关系，这个等式叫做解析式表达式。6求函数的解析式根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式，一是要求出对应法则，二是要求出函数的定义域.求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，但要
8、注意函数定义域还应由实际意义来确定.二、典题与精析例1判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正.（1） 表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）1，2，3与3，2，1不相等；（4）0，1的所有子集是0，1，0，1；（5）如果AB且AB，那么B必是A的真子集；（6）AB与AB不能同时成立.解析：（1）不正确； 不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确。（2）不正确；空集是任何非空集合的真子集；不能是它自身的真子集。（3）不正确；1，2，3与3，2，1表示同一集合。（4）不正确； 是每个集合的子集，0，1的所有子集是0，1，0，1， 。（5）正确；AB包括两种情形：AB和A
9、=B.（6）不正确；A=B时，AB与AB能同时成立.评注：在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密，紧扣概念，对每个概念不仅要记住，而且要理解其本质.另外要注意的是：对于错误的说法，举一个反例即可.例2下面三个集合是否相同？它们各自的几何意义是什么？（1）y|y=2x1，xR；（2）y|y=2x1，xQ；（3）（x，y）|y=2x1，xR.解析：判断两个集合是否相同的依据是看集合中的元素是否相同，虽然三式的表达式相同，但数集的范围不同，因此，它们是不同的集合，（1）实数域中的数集；（2）有理数域中的数集；（3）直角坐标平面上一个点集（这些点在同一条直线上）。评注：解与集合有关的问题时，首先搞清楚
10、元素的性质是什么，若元素的性质不同，一定是不同的集合.其次要看元素的范围，若元素的范围不同，集合也是不同的.例3已知集合A=x|ax23x+2=0，aR，若A中元素至多只有一个，求a的取值范围.解析：（1）a=0时，原方程为3x+2=0 x= ，符合题意；（2）a0时，方程ax23x+2=0为一元二次方程，=98a0 a .当a 时，方程ax23x+2=0无实根或有两个相等实数根，这都符合题意.综合（1）（2），知a=0或a .评注：对于集合中元素的求法，要看清原来是用什么方法表示出的，有时要分类讨论.例4集合x|3x0，xZ的子集共有（ ）A.7个B.8个 C.6个 D.5个解析：x|3x0
11、，xZ1，2，3，所有子集是： ，1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3.答案：B例5设集合A=x|x2+4x=0，B=x|x2+2（a+1）x+a21=0，aR，若AB=B，求a的值.解析：首先化简集合A，得A=4，0，由AB=B，则有B A，可知集合B或为 ，或为0，或为4，或为0，4，若B= 时，=4（a1）24（a21）0，解得a1.若0B，代入得a21=0 a=1或a=1.当a=1时，B=x|x2+4x=0=0，4=A，合题意；当a=1时，B=x|x2=0=0 A，也合题意.若4B，代入，得a28a+7=0 a=7或a=1.当a=1时，已讨论，合题意；当a=7时，B=x|x2
12、+16x+48=0=12，4，不合题意.由得，a=1或a1.评注：此题考查分类讨论思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题.这称为数学的化归思想，是数学思想的常用方法，在高考中重点考及.例6判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由.（1）y=x1，xR与y=x1，xN；（2）y= 与y= ；（3）y=1 与u=1 ；（4）y=x2与y=x ；（5）y=2|x|与y= 分析：此题的考查目的在于强化函数是三要素构成的整体，且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的，判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同.解析：（1）不同，
13、因为它们的定义域不同；（2）不同，前者的定义域是x|x2或x2，后者的定义域是x|x2；（3）相同，定义域均为非零实数，对应法则都是自变量取倒数后加1；（4）不相同，定义域是相同的，但对应法则不同，值域不同，前者的值域是y|y2，后者的值域是y|yR；（5）相同，将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值，结果就是 例7已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；已知f（x）满足2f（x）+3f（ ）=4x，求函数f（x）的解析式；已知： ，求ff(-1)。解析：解法一：f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1f(x)=x2+2x-1解法二：令x+1=t，x=t-1，f(t)=
