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1、 第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性（1）定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数），区间D为函数y=f(x)的增区间（减区间）概括起来，即（2）函数单调性的证明的一般步骤：设，是区间D上的任意两个实数，且作差，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；确定的符号；给出结论证明函数单调性时要注意三点：和的任意性，即从区间D中任取和，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；有序性，即通常规定；同区间性，即和必须
2、属于同一个区间。（3）设复合函数是定义区间M上的函数，若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，则在区间M上是减函数；若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，则在区间M上是增函数。概括起来，即“同增异减II号”（4）简单性质： 与单调性相同；与及单调性相反 在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。（5）必须掌握特殊函数单调性 一次函数： 二次函数： 反比例函数： 双钩函数： 注：函数的多个单调区间通常不能用并集联接；单调区间的端点只要在定义域内就要加上增函数在图像上反映出来就是“向上”，减函数从图像上反映出来就是“向下”
3、函数的最值（1）定义：的最大值： 最大的函数值；的最小值： 最小的函数值（2）求最值方法与求值域方法类似函数的奇偶性1定义:设y=f(x)，定义域为A且A关于原点对称，如果对于任意A，都有，称y=f(x)为偶函数。设y=f(x) ，定义域为A且A关于原点对称，如果对于任意A，都有，称y=f(x)为奇函数。概括起来，即，2函数奇偶性的判断的步骤：求定义域，若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则判断与的关系判断与的关系，若，则为偶函数；若，则为奇函数；若且，则既是奇函数又是偶函数；若且，则函数既不是奇函数也不是偶函数3.性质：（1）若为奇函数，则：；图像关
4、于原点对称；0在定义域内时有；在关于原点对称的区间上单调性相同几种特殊的奇函数，（2）若为偶函数，则：；图像关于轴对称在关于原点对称的区间上单调性相反；几种特殊的偶函数：，注：若二次函数为偶函数，则；在同一定义域内，；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式二、典例例题解析：题型一 单调性的定义例1 定义在上的函数对任意两个不相等的实数总有，试判断单调性。例2 若在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上（ ）A. 必是增函数 B.必是减函数 C.是增函数或减函数 D.无法确定单调性变式训练 下列说法中正确的有个若，当时，则在上是增函数函数在上是增函数；函数在定义域上是增函数；的单调
5、区间是题型二 单调性的证明例1 证明函数在区间上为减函数例2 证明函数在其定义域内是减函数例3 已知函数在上为增函数，且，试判断在上的单调性，并给出证明过程题型三 利用单调性求函数值域和最值例1 求下列函数的最值 ； 变式 如果函数，求的单调区间和值域 例2 已知在，上是减函数，求的取值范围变式 1 已知的减区间是，求的值变式2 函数f(x)= x 2 + 3x +2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 （ ）A、42,12 B、42，-C、12，- D、无最大值，最小值-.变式3函数y2x2(a1)x3在(，1内递减，在(1，)内递增，则a的值是 ()A.1 B.3 C.5 D.1XY
6、O例3 若在区间上是减函数，求的的取值范围变式1函数的图象如图所示：则的单调减区间是（ ）变式2、已知是R上的减函数，那么的取值范围是（ ） 题型四 抽象函数的单调性例1 已知函数是上的增函数，且，求的取值范围变式 已知函数的定义域为，且在区间上是增函数且，求的取值范围例2 已知函数在上是减函数，比较与的大小例3 已知定义在区间上的函数满足，且当时 求的值；判定的单调性；若，求在上的最小值变式 已知定义在区间上的增函数满足，解不等式例4 函数f(x)是定义在(0，)上的减函数，对任意的x，y(0，)，都有f(xy)f(x)f(y)1，且f(4)5. (1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m
7、2)3变式 已知函数定义域为，且对，恒有，且，当时， 求证明：在上为增函数题型五 函数的奇偶性概念例1 下列说法中错误的个数为（ ）图像关于坐标原点对称的函数是奇函数图像关于轴对称的函数是偶函数奇函数的图像一定过坐标原点偶函数的图像一定与轴相交A.4 B.3 C.2 D.0变式 下列判断正确的是（ ）A. 定义在上的函数，若，且，则是偶函数B. 定义在上的函数满足，则在上是增函数C. 定义在上的奇函数在区间上是减函数，则在区间上也是减函数D. 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个题型六 函数奇、偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性（定义法） 例2判断下列函数奇偶性（定义法或图像法） 例3判断下列
8、函数奇偶性（抽象函数） ，其中为奇函数函数定义域为，并且对任意均满足，判断奇偶性，并证明。 设函数并且对任意非零实数均满足，求证：为偶函数 函数不恒为0，对任意均满足 求证：为偶函数题型七 奇偶性的应用1 求函数值例1 已知且，求变式1已知f(x)=x5+ax3+bx6且，f(3)=10，则f(-3)的值为 变式2已知定义在R上的奇函f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若g(2)a，则f(2)()A2 B. C. Da2变式3已知g(x)为奇函数，且f(-3)=，求f(3)；变式4设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x) 2x2x，则f(1)()A3
9、 B1 C1 D3变式5已知是定义在R上的奇函数，若，则的值为_2 求解析式例1 已知是奇函数，当时，求时，解析式变式1奇函数f(x)在(0，)上的解析式是f(x)x(1x)，则在(，0)上f(x)的函解析式是()Af(x)x(1x)Bf(x)x(1x) Cf(x)x(1x)Df(x)x(x1)变式2设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)+g(x)= 求f(x)和g(x).例2 函数是定义在上的奇函数，且，求解析式变式1若函数是上的奇函数，则的解析式为_变式2若函数为偶函数，求3 解不等式例1 设为定义在上的偶函数，在上递增，且，求的取值范围变式1已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x取值范围是()A. B. C. D.变式2为偶函数，在上单调递减，且，求的取值范围4奇偶性与单调性的综合应用例1 设是上的偶函数，在上单调递增，试比较大小例2 是定义在R上的偶函数，且，在上单调递增，则不等式的解集为_变式1定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)变式2 设是定义在R上的奇函数，且，在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为_
