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1、抓住痛点，避免错误-复合函数的导数易错题案例两则【摘要】复合函数与抽象函数结合在一起，求导时法则的正确使用是一个教学的难点，学生易混易错。教 学时应讲清复合函数求导法则如何应用。【关键词】复合函数求导法则 抽象函数的导数复合函数与抽象函数结合在一起，一直以来都备受关注。而当抽象复合函数与导数问题 叠加在一起，又可以碰撞出怎样的火花呢？今天，我们就通过两个复合函数的求导问题来一 起探讨有关抽象复合函数的那些事。案例一：例：函数f (x)在R上满足f (x) = 2f (2 - x) -x2 + 8x- 8,曲线y二f (x)在点(l,f)处的切线方 程是。本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求
2、导法则以及导数的几何意义。函数在某点的导 数值等于该点的切线方程的斜率。学生错解：令x = 1，代入已知得f=2 f (1)-1，所以f=1,因为 f (x) = 2 f (2 - x) - x 2 + 8 x - 8，求导：.f(x)二 2f (2 - x) - 2x + 8 , f(1)= 2f(1)+ 6 , .f(1)=-6所以线y二f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是y-1二-6(x-1)，即y = -6x + 7。主要错误在于求切线斜率时涉及到复合函数f (2-x)求导时未能正确求导，由复合函数的求导 法则，还应再乘以(2 - x) =-1。对于这个痛点应该如何解决呢？我们
3、可以从 f(x) 解析式或用复合函数的导数两个方向来正确解决该类问题。【解法一】：分析：先根据f (x) = 2f (2-x)-x2 + 8x-8求出函数f (x)的解析式，然后对函数f (x)进行求导， 进而可得到y = f (x)在点(1,f (1)处的切线方程的斜率，最后根据点斜式求出切线方程。 解：f (x) = 2f (2 - x) - x2 + 8x - 8，彳将 2 x 代入，彳得 f (2 x) = 2 f (x) (2 x)2 + 8(2 x) 8 联立，得 f (x) = x2 ， f(x) = 2x/. y = f (x)在(1,f (1)处的切线的斜率k = f (1)
4、= 2，切点(1,1)， 所以线y = f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是y 1 = 2(x 1)，即y = 2x 1。【解法二】：对解法一的拓展分析：从函数结构入手，构造新函数解：t f (x) = 2 f (2 x) x2 + 8x 8 ,.f (x) x 2 = 2f (2 x) (2 x)2设 g (x) = f (x) x2，则上式化为g (x) = 2g (2 x),用 2 x 代入，得 g (2 x) = 2g (x),解得 g (x) = 0，即 f (x) = x2 又易知 f (1) = 1,f(l)= 2， 所以线y = f (x)在点(1,f (1)处的切线方
5、程是y = 2x 1。【点评】：本法找到已知条件中结构的特点，利用同构，求出 f(x)。【推广】本题解法过程中由g (x) = 2 g (2 x),得g (x) = 0。这个结论有一般性的推广。若抽象函数f (x)在定义域内满足g(x) = ng(2x x),(n丰0,n e R)，则g(x) = 0。0证明：因为g(x) = ng(2x x)，0用 2x x 代入，得 g (2x x) = ng (x)，00解得 g (x) = 0。【解法三】：分析：利用抽象函数的导数求出切线斜率解：f (x) = 2f (2 x) x2 + 8x 8，f (x) = 2f (2 x) - (2 x) 2x
6、 + 8 = 2f (2 x) 2x + 8，. f (1)= 2f()+ 6，. f (1)= 2 又令x = 1代入已知得f (1) = 2f (1) 1，所以f=1,所以线y = f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是y 1 = 2(x 1)，即y = 2x 1。案例二：设函数f (x)在(0, +Q内可导，其导函数为f(x)，且f (ln x) = x + In x，则f(1)=学生错解一：解：f (lnx) = 1 +1，/. f (lne) = 1 +1，即 f(1)= 1 +1。xee学生错解二：.1 = ln e/. f (lne)二 1 + -二 1 + -xef(l)
7、= 1 +1e错解分析：依然是没有正确理解复合函数的求导公式。避免错误的办法仍是求出解析式或是 正确使用求导公式。【解法一】：换元求解析式设 t = ln x，贝卩 x = et,原函数化为 f (t) = et +1，所以 f (x) = ex + x , f (x) = ex +1，故f=e +1。【解法二】f (ln x) = x + ln xy = f (lnx)可看作y = f (t)和t = lnx的复合函数，原式两边对x求导，其中左边y = f (lnx)对x求导得，y = y t ，x t x即 y = f (t)丄=f (ln x)丄，xxx所以原式两边对x求导得，f (ln
8、x)丄=1 + -xx:.f (lnx) = x +1，/. f (1)= e +1。结合上面分析，可以有以下例题供学生学习：例1：已知函数f (x)在R上满足f (4 - x) = 2 f (x) - 2 x 2 + 5 x，则曲线y = f (x)在点(2,f(2)处 的切线方程是( )A. y = - xB y = x 4C y = 3x-8D. y = 5x-12【分析】用 4 x取代x , f (4 (4 x) = 2f (4 x) 2(4 x)2 + 5(4 x),即 f (x) = 2 f (4 x) 2 x 2 + 11x 12 ,联立得f (x) = 2x2 7x + 4。下
9、面常规求切线就可以了。那么能否不求解析式只利用复合函数的导数公式求解呢？本题也是可以的。解：f (4 x) = 2f (x) 2x2 + 5x ,对f (4 x) = 2 f (x) 2 x 2 + 5 x两边分别求导， 左边f (4 x) = f (4 x) (4 x) =-f(4-x) 右边2 f (x) 2 x 2 + 5 x = 2 f(x) 4 x + 5 故f (4 x) = 2 f(x) 4 x + 5令 x 二 2，则-f (2) = 2f-3，即 f (2) = 1 ；f =2f + 2, f=-2,所以曲线y = f (x)在点(2,f (2)处的切线方程是y = x-4。
10、故选B。例 2：全国卷高考真题改编：已知 f (x) = ex -e-x - 2x ,(1) 求 f (x) ； (2) g(x) = f (2x) -4bf (x)，求 g (x)并因式分解。解：(1)f(x) = ex + e-x - 2(2) g (x) = f (2x)-(2x)-4bf(x)=2(e2 x + e -2 x 2) 4b(ex + e - x 2)=2(ex + e-x )2 2 2 4b (ex + e-x 2)=2(ex + e-x )2 - 4b(ex + e-x) + 8b - 8=2(ex + e - x 2)ex + e - x (2b 2)此法可应用在高考
11、题中能简化计算，可不必求出解析式，直接使用复合函数的导数这个方法 求解。在对一些极值点偏移的问题中也有着广泛的应用。如例 3【2016年全国I卷21题】已知函数f (x) = (x-2)ex + a(x-1)2有两个零点.(I) 求a的取值范围；(II)设x， x是f (x)的两个零点，证明：x + x 0且x 1 x 1)，由复合函数求导公式，得h(x) = f (x) - f (2 - x) - (2 - x) = f (x) + f (2 - x)=(x-1)(ex +2a)+(1-x)(e2-x +2a) =(x-1)ex +(1-x)e2-x(x 1)e2( x-1) 1ex-2因为
12、x 1，所以x-1 0， e2(x-1) -1 0， 所以 h(x) 0，所以h(x)在(1,+8)单调递增，所以h(x) h(1) = 0，即 f (x) f (2-x)，所以 f (x ) f (2-x )，所以 f (x ) f (2-x )。2 2 1 2因为x 1,2-x 1， f (x)在(-8,1)单调递减，12所以 x 2 - x ，即 x + x 2 。1 2 1 2小结：抽象复合函数求导题最佳策略是先求解函数解析式，再求导。若对不易求出解析式的抽 象函数，可利用复合函数求导法则分层求导。简单复合函数求导的一般步骤为“分解-求导 回代”，即（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；（2）利用求导法则 分层求导；（3）最终结果要将中间变量换成原来的自变量。注意不要漏掉第（3）步回代的过 程。参考文献：朱成万 王红权至精至简的高中数学思想方法-30 讲破解高考反复考查内容2019.3
