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1、年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编解答题（4）76. （年广东珠海9分）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知折痕，且以为原点，所在直线为轴建立如图所以的平面直角坐标系，抛物线经过点，且与边相交于点 （1）求证：； （2）若是的中点，连接，求证：； （3）是线段上的一动点，点在抛物线上，且始终满足，在点运动过程中，能否使得？ 若能，求出所有符合条件的点坐标；若不能，请说明理由【答案】解：（1）证明：四边形是矩形，且由折叠的性质知，.，.又，.（2）证明：，可设，则由勾股定理，得.由折叠的性质知，.由（1），.在中，由勾股定理，得，即，解得，.抛物线的解析式为.当时，.在中，由勾股定理，
2、得，.又点为斜边上的中点，.为线段的垂直平分线. .（3）由（2）知，抛物线的解析式为，设抛物线与的两个交点为，令，即，解得，.当轴时，如答图1,点坐标为或.当不垂直于轴时，如答图2,当点在抛物线对称右侧时，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，则点不与点重合，即，.，.和不全等.同理，当点在抛物线对称左侧时，.综上所述，在点运动过程中，能使得，符合条件的点坐标为或.【考点】二次函数综合题；单动点和折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；全等、相似三角形的判定和性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系；线段垂直平分线的性质；待定系数法和分类思想的应用.【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可求得和的
3、两组对应角相等而得到结论.（2）由条件应用待定系数法，根据相似三角形的性质和勾股定理求得的长，从而求得抛物线的解析式，而得到点的坐标，进而得到为线段的垂直平分线的结论而证明结论.（3）分轴和不垂直于轴两种情况讨论即可.77. （年贵州铜仁12分）如图，已知三角形ABC的边AB是O的切线，切点为BAC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E（1）求证：CB平分ACE；（2）若BE=3，CE=4，求O的半径【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OB，AB是O的切线，OBAB.CE丄AB，OBCE. 1=3.OB=OC，1=2. 2=3.CB平分ACE；（2）如答图
4、2，连接BD，CE丄AB，E=90.BE=3，CE=4，.CD是O的直径，DBC=90.E=DBC. DBCCBE. . .O的半径为【考点】切线的性质；平行的判定和性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质【分析】（1）作辅助线“连接OB”，由AB是O的切线，得到OBAB，由于CE丄AB，得OBCE，于是得到1=3，根据等腰三角形的性质得到1=2，通过等量代换得到结果（2）作辅助线“连接BD”构成相似三角形：DBCCBE，得到比例式，列比例式求解可得结果78.（年贵州铜仁14分）如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与
5、x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积【答案】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入，得，解得，二次函数的表达式为：.（2）令y=0，则，解得：x=1或x=3，B（3，0）.，如答图1，点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论： 当CP=CB时，PC=，或.P1（0，
6、），P2（0，）.当PB=PC时，OP=OB=3，P3（3，0）.当BP=BC时，OC=OB=3，此时P与O重合. P4（0，0）.综上所述，点P的坐标为：（0，）或（0，）或（3，0）或（0，0）.（3）如答图2，设AM=t，由AB=2，得，则DN=2t，.当点M出发1秒到达D点时，MNB面积最大，试求出最大面积是1此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【考点】二次函数综合题；双动点问题；等腰三角形存在发夹；曲线上点的坐标与方程的关系；二次函数最值；分类思想和方程思想的应用【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可.（2）求出点B的坐标，再根据
7、勾股定理得到BC，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CP=CB；BP=BC；PB=PC.（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处79. （年河南10分）如图1，在RtABC中，B=90，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.（1）问题发现 当时， ； 当时， ；（2）拓展探究 试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明；（3）问题解决 当EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出
8、线段BD的长.【答案】解：（1）；.（2）无变化.在题图1中，点D、E分别是边BC、AC的中点，CEAB.,EDC=B=900.如题图2，EDC在旋转过程中形状大小不变，仍然成立.又ACE=BCD=；ACEBCD，.在RtABC中，.的大小不变.（3）或.【考点】面动旋转和定值问题；三角形中位线定理；平行线分线段成比例的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理；分类思想、数形结合思想的应用.【分析】（1）当=00时，如题图1，在RtABC中，BC=2AB=8,AB=4，.又点D、E分别是边BC、AC的中点，CEAB,.当=1800时，如答图1，A、C、E三点共线，.（2）由ACEBCD，根据相似
9、三角形对应边成比例，结合勾股定理，得.（3）分两种情况讨论：如答图2，当EDC在BC上方，A、D、E三点共线时，四边形ABCD是矩形，.如答图3，当EDC在BC下方，A、D、E三点共线时，ADC是直角三角形，由勾股定理得，AD=8, AE=6.由得.综上所述，当EDC旋转至A、D、E三点共线时，线段BD的长为或.80.（年河南11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PFBC于点F. 点D、E的坐标分别为（0，6），（，0），连接PD，PE，DE.（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P
10、的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值. 进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使PDE的周长最小的点P也是一个“好点”. 请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE的周长最小时“好点”的坐标.【答案】解：（1）抛物线的解析式为.（2）猜想正确. 理由如下：设，则 如答图1，过点P作PMy轴于点M，则.（定值）.猜想正确. （3）“好点”共有11个.当点P运动时，DE大小不变，PE与PD的和最小时，PDE的周长最小.由（2）知，
11、. .当P、E、F三点共线时，最小，此时点P、E的横坐标是，将代入，得y=6. ，此时PDE的周长最小，且PDE的面积是12，点P恰为“好点”.PDE的周长最小时“好点”的坐标是.【考点】二次函数综合题；新定义和阅读理解型问题；单动点和定值问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；二次函数的性质；垂直线段最短的性质；数形结合思想的应用.【分析】（1）四边形OABC是正方形，.是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为.点在抛物线上，.抛物线的解析式为.（2）设，作辅助线“过点P作PMy轴于点M”构造直角三角形，应用勾股定理求得，结合得到（定值）.（3）易求直线ED的解析式是，设，.，.可以
12、等于4到13所有整数，在为12时的值有两个，所以面积为整数时“好点”有11个.经过验证周长最小时的好点包含这11个之内，所以好点共11个；周长最小即最小即可，求出此时点P的坐标即可.81. （年湖北黄冈10分）我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元 （1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱； （3）“
13、五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400元，求a的值【答案】解：（1）甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人， ，解得. 当时， 当时， 综上所述，.（2）甲团队人数不超过100人，x100. .，x=70时，W最大=8900（元）， 两团联合购票需12060=7200（元）， 最多可节约89007200=1700（元） （3）x100，. x=70 时，（元）. 两团联合
14、购票需（元）， ， 解得：a=10 【考点】一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的应用；分类思想的应用【分析】（1）根据甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，得到x70，从而分两种情况：和讨论即可.（2）根据甲团队人数不超过100人，所以x100，由，根据，利用一次函数的性质，当x=70时，W最大=8900元，两团联合购票需 12060=7200元，作差即可解答. （3）同（2），根据“最多可节约3400元”列方程求解即可.82.（年湖北黄冈14分）如图，在矩形ABCD中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系 （1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式； （2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到
