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1、裂项相消求和法在数列和不等式中的应用数列与不等式是高中数学重点内容，是高考必考内容，数列与不等式的结合成为高考的命题热点，具有难度大、灵活性强的特点，对学生的数学思维品质提出了较高的要求，尤其是以递推数列为载体的不等式证明，可以从较高的层次上考察学生运用数学思想方法进行代数推证的理性思维能力。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析特征，抓住规律进行适当地放缩。下面就几道例题剖析如何用裂项相消求和法证明数列不等式。基本问题求和：（1）（2）。 （3）。因为，（4）.已知，求前项的和.解析：，类型一、通项（是常数）例1、求证: . 思路一、若，；思路二、若，；思路三、
2、,点评：由于，可见通项放缩越接近，和就越接近。例2、已知，证明：思路、n2时，易得，故点评：当分母是关于的二次表达式，通过因式分解（或需要放缩）等差数列相邻两项的积。例3、已知，前项和为，求证 证明：， 点评：此题虽然分母不是二次式，但可以看成是相邻两项的积，仍然可以裂成两项之差。例4、求证：思路、令，（），故， 点评：由于，则，故。也可以得证。通过以上例题可以看出，当分母可以放缩为一个等差数列相邻两项（若分母为关于高次）的积，便可以裂成两项的差。除以上例题用到放缩技巧以外，还有：若为等差数列，公差为，则， ，等。类型二、通项（是常数）例5、求证：思路、首先,所以容易经过裂项得 再证而由均值不
3、等式，知道这是显然成立的，所以。例6、数列，的前项和为，求证：思路、由于所以，。例7、已知，求证：。证明: 。所以通过以上例题不难得到，如果分母可以放缩为两个根式之和，采用分母有理化便可以得到两个根式之差。除以上例题用到放缩技巧以外，还有：， ， .等。类型三、通项（是常数）例8、已知已知令是数列的前n项和，证明：证明：。例9、，求证 当时， + 当时，故+例10、已知，求证：。证明：=，故。例11、已知求证 思路一：当时 故 思路二：例12、已知设，数列的前n项和为Tn .求证：思路：，由得所以，从而即 例13、求证+ 思路一、当时，+思路二、当时，如果分母是含有幂的表达式一般式放缩为一个等
4、比数列，但分母若可放缩成两项式子的积，也可以裂成两项之差。除以上例题用到放缩技巧以外，还有：， ，.类型4、含阶乘的通项例14、已知，求证：。思路、由于故 。点评：含与阶乘有关的通项一般可以拆成两项之差，还有， 等。类型5、利用二项式定理例15、求证：当，且，都有 证：+ = + =例16、设（且），当时，试证明：4.思路、设，则，当时，设 则。从而，总有类型6、利用递推关系式例17、已知，求证 思路： 例18、已知， 求证：。思路、由于 ， ，, , 又，。例19、若，其中，证明：思路、由于，由（1），则，而，则，又 ，而，且，故 ，因此，从而这两题中告诉了数列的递推关系式，但没有直接求出数列的通项，而是巧妙的裂成（或放缩）两项之差的形式，以达到求和的目的。类型7、构造法例20、求证:先运用分式放缩法证明出通项： 下面介绍几种方法证明 方法一因为,所以,所以有 方法二,因为,所以 令,可以得到,所以 点评：证明数列和不等式，首先观察通项的特征，采用恰当方法进行放缩，有时会有多种办法解决，该题就给出两种放缩为可以裂项求和的方法。
