相交线与平行线复习及练习题

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1、 相交线与平行线复习及练习题二、 知识点梳理一、知识定义邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。同位角、内错角、同旁内角:同位角:1与5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。内错角:2与6像这样的一对角叫做内错角。同旁内角:2与5像这样的一对角叫做同旁内角。命题:判断一件事情的语句叫命题。平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫

2、做平移平移变换,简称平移。对应点:平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。三、定理与性质对顶角的性质:对顶角相等。垂线的性质:性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。平行线的性质:性质1:两直线平行,同位角相等。性质2:两直线平行,内错角相等。性质3:两直线平行,同旁内角互补。平行线的判定:判定1:同位角相等,两直线平行。判定2:内错角相等,两直线平行。

3、判定3:同旁内角相等,两直线平行。三、经典例题题型一互余与互补例1 一个角的余角比它的补角的少20.则这个角为()A.30 B.40 C.60 D.75分析若设这个角为x,则这个角的余角是90x,补角是180x,于是构造出方程即可求解.解设这个角为x,则这个角的余角是90x,补角是180x.则根据题意,得(180x)(90x)20.解得:x40.故应选B.说明处理有关互为余角与互为补角的问题,除了要弄清楚它们的概念,通常情况下不要引进未知数,构造方程求解.题型二平行线的性质与判定例2 判断题:1)不相交的两条直线叫做平行线。()2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。()3)两直线平行,同旁

4、内角相等。()4)两条直线被第三条直线所截,同位角相等。()答案:(1)错,应为“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”。 (2)错,应为“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错,应为“两直线平行,同旁内角互补 ”。 (4)错,应为“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等”。例3 已知:如图1,l1l2,150,则2的度数是()A.135 B.130 C.50 D.40分析要求2的度数,由l1l2可知1+2180,于是由150,即可求解.解因为l1l2,所以1+2180,又因为150,所以2180118050130.故应选B.说明本题是运用两条直线平行,同旁内角互补求解

5、.例4 如图2,已知直线l1l2,140,那么2 度.分析如图2,要求2的大小,只要能求出3,此时由直线l1l2,得31即可求解.解因为l1l2,140,所以1340.又因为23,所以240.故应填上40.说明本题在求解过程中运用了两条直线平行,同位角相等求解.图2图1F图3E图3例5 如图3,已知ABCD,130,290,则3等于()A.60B.50C.40D.30分析要求3的大小,为了能充分运用已知条件,可以过2的顶点作EFAB,由有1AEF,3CEF,再由130,290求解.解如图3,过2的顶点作EFAB.所以1AEF,又因为ABCD,所以EFCD,所以3CEF,而130,290,所以3

6、903060.故应选A.说明本题在求解时连续两次运用了两条直线平行,内错角相等求解.例6 如图4,ABCD,直线EF分别交AB,CD于E,F两点,BEF的平分线交CD于点G,若EFG72,则EGF等于()A.36 B.54 C.72 D.108分析要求EGF的大小,由于ABCD,则有BEF+EFG180,EGFBEG,而EG平分BEF,EFG72,所以可以求得EGF54.解因为ABCD,所以BEF+EFG180,EGFBEG,又因为EG平分BEF,EFG72,所以BEGFEG54.故应选B.图4BDGFCAE说明求解有关平行线中的角度问题,只要能熟练掌握平行线的有关知识,灵活运用对顶角、角平分

7、线等知识就能简洁获解.课堂作业:如图,已知,于D,为上一点,于F,交CA于G.求证.例7 已知:如图,ABCD,求证:B+D=BED。分析:可以考虑把BED变成两个角的和。如图5,过E点引 一条直线EFAB,则有B=1,再设法证明D=2,需证EFCD,这可通过已知ABCD和EFAB得到。证明:过点E作EFAB,则B=1(两直线平行,内错角相等)。 ABCD(已知), 又EFAB(已作), EFCD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。 D=2(两直线平行,内错角相等)。 又BED=1+2, BED=B+D(等量代换)。变式1已知:如图6,ABCD,求证:BED=360-(B+D)。分析:此题与

8、例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的BED都是指小于平角的角,如果把BED看成是大于平角的角,可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此,我们模仿例1作辅助线,不难解决此题。证明:过点E作EFAB,则B+1=180(两直线平行,同旁内角互补)。 ABCD(已知), 又EFAB(已作), EFCD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。 D+2=180(两直线平行,同旁内角互补)。 B+1+D+2=180+180(等式的性质)。 又BED=1+2, B+D+BED=360(等量代换)。 BED=360-(B+D)(等式的性质)。变式2已知:如图7,ABCD,求证:BED=D-B。分析:

9、此题与例1的区别在于E点的位置不同,从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法,可以解决此题。证明:过点E作EFAB,则FEB=B(两直线平行,内错角相等)。 ABCD(已知), 又EFAB(已作), EFCD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。 FED=D(两直线平行,内错角相等)。 BED=FED-FEB, BED=D-B(等量代换)。变式3已知:如图8,ABCD,求证:BED=B-D。分析:此题与变式2类似,只是B、D的大小发生了变化。证明:过点E作EFAB,则1+B=180(两直线平行,同旁内角互补)。 ABCD(已知), 又EFAB(已作), EFCD(平行于同一直线的两条直线

10、互相平行)。 FED+D=180(两直线平行,同旁内角互补)。 1+2+D=180。 1+2+D-(1+B)=180-180(等式的性质)。 2=B-D(等式的性质)。 即BED=B-D。例8 已知:如图9,ABCD,ABF=DCE。求证:BFE=FEC。证法一:过F点作FGAB ,则ABF=1(两直线平行,内错角相等)。 过E点作EHCD ,则DCE=4(两直线平行,内错角相等)。 FGAB(已作),ABCD(已知), FGCD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。 又EHCD (已知), FGEH(平行于同一直线的两条直线互相平行)。 2=3(两直线平行,内错角相等)。 1+2=3+4(等

11、式的性质) 即BFE=FEC。证法二:如图10,延长BF、DC相交于G点。 ABCD(已知), 1=ABF(两直线平行,内错角相等)。 又ABF=DCE(已知), 1=DCE(等量代换)。 BGEC(同位角相等,两直线平行)。 BFE=FEC(两直线平行,内错角相等)。如果延长CE、AB相交于H点(如图11),也可用同样的方法证明(过程略)。证法三:(如图12)连结BC。 ABCD(已知), ABC=BCD(两直线平行,内错角相等)。 又ABF=DCE(已知), ABC-ABF =BCD-DCE(等式的性质)。 即FBC=BCE。 BFEC(内错角相等,两直线平行)。 BFE=FEC(两直线平

12、行,内错角相等)。题型三尺规作图例9 已知角和线段c如图5所示,求作等腰三角形ABC,使其底角B,腰长AB c,要求仅用直尺和圆规作图,写出作法,并保留作图痕迹.图5cA图6ccBCP分析要作等腰三角形ABC,使其底角B,腰长ABc,可以先作出底角B,再在底角的一边截取BAc,然后以点A为圆心,线段c为半径作弧交BP于点C,即得.作法(1)作射线BP,再作PBQ;(2)在射线BQ上截取BAc;(3)以点A为圆心,线段c为半径作弧交BP于点C;(4)连接AC.则ABC为所求.如图6.AOBBO图7ADCDC例10 如图7,已知AOB和射线OB,用尺规作图法作AOBAOB(要求保留作图痕迹).分析只要再过点O作一条射线OA,使得AOBAOB即可.作法(1)以O为圆心,任意长为半径,画弧,交OA、OB于点C、D;(2)以O为圆心,同样长为半径画弧,交OB于点D;(3)以D为圆心,

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