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1、第四章 解三角形第1讲 正弦定理和余弦定理 知 识 梳理 内角和定理：在中，；面积公式: = 3正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： (边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： ； ； cosC= 重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用2.难点：根据已知条件,确定边角转换.3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件
2、中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.(1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论问题1: 在中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 （ ） A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 点拨：在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。由得，又故有两解答案B.在解三角形时要注意充分利用平面几何的性质问题2: 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积 点拨 :如图连结BD，则有四边形ABCD的面积 S=SABD+SCDB=ABADsin
3、A+BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA在CDB中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=，又0A180，A=120故S=16sin120=8 热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 运用正、余弦定理求角或边题型1.求三角形中的某些元素例1 (2008年广州市海珠区高三上期综练二)已知：A、B、C是的内角，分别是其对边长，
4、向量，.（）求角A的大小；（）若求的长.【解题思路】已知对边求对角，直接用正弦定理。解析:() =1分=2分4分6分7分.8分()在中， ，9分由正弦定理知：10分=.12分【名师指引】已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，要注意解可能有多种情况【新题导练】1.在ABC中，a1，b，B60，求c.解析：由余弦定理得 ()212c22ccos60，c2c60，解得c13，c22(舍去).c3.2若在ABC中，求ABC外接圆的半径R. 解析: 题型2判断三角形形状例3在ABC中，bcosAcosB，试判断三角形的形状.【解题思路】判定三角形形状时，一般
5、考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理解析：方法1：利用余弦定理将角化为边.bcosAcosB 故此三角形是等腰三角形.方法2：利用正弦定理将边转化为角.bcosAcosB 又b2RsinB，2RsinA2RsinBcosA2RsinAcosB sinAcosBcosAsinB0sin（AB）0 0A，B，ABAB0，即AB故三角形是等腰三角形.【名师指引】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式.【新题导练】3.在ABC中，若2cosBsinAs
6、inC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB4. 在ABC中，若，则ABC的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰或直角三角形D.等边三角形解析：由已知及正弦定理得sin2A=sin2B2A2B或2A2B，即AB或AB，故ABC为等腰三角形或直角三角形.选C考点2: 三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.例1（08重庆） 设的内角A，B，C的对边分
7、别为a,b,c，且A=，c=3b.求：（）的值；（）cotB +cot C的值.【解题思路】求的值需要消去角和三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系解析：（）由余弦定理得故（）解法一：由正弦定理和（）的结论得故解法二：由余弦定理及（）的结论有故同理可得从而【名师指引】在解三角形的背景下一般见“切割就化弦”【新题导练】5三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，, 若,求角B的大小； 解析:， ， 6在RtABC中，C=90,且A，B，C所对的边a,b,c满足a+b=cx，求实数x的取值范围. 解析，又，即考点3 与三角形的面积相关的题题型1:已知条件求面积例1: (广州执信中学09届高三上学期期
8、中考试)在中， （）求的值；（）设，求的面积【解题思路】求角C的三角函数值可考虑用内角和定理;求三角形的面积直接用面积公式.解析：（）由，得，由，得 又所以（）由正弦定理得 所以的面积【名师指引】本题主要考查三角变换、余弦定理、三角形面积、解三角形等基础知识，考查运算求解能力.题型2:已知面积求线段长或角例2 (广东省惠州市2009届第二调研考试）在中， 、求的值；、设的面积，求的长【解题思路】已知面积求边长或高,可考虑等积法.解析：、由，得，由，得所以、由得，由知，故，又，故，所以【名师指引】在处理解三角形的相关问题时,逆向思维也是必不可少的.【新题导练】7.在三角形中，求三角形的面积。【解
9、析】 由题意，得为锐角， ， 由正弦定理得 ， 8. 在中，则等于 A、 B、 C、或 D、或【解析】C 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 在中，若，则一定是( )A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形解析： 2. 在中，且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边的长为（）A2 B3 C4 D5解析： ，且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边为 3.在ABC中，C=，则的最大值是_.解析 在ABC中，C=， ，时，取得最大值。4. 若中，则角C的大小是_解析 5.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边, ， =，则其外接圆的半径为_.解析,6.在AB
10、C中，已知，A45，BC=，求角C。解：由正弦定理得,又BC时，故 sinC； 有两解 或120综合拔高训练7.在ABC中，已知，试判断ABC的形状。解：由正弦定理得：，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，ABC为等边三角形。8.在锐角三角形中，边a、b是方程x22x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)=0，求ABC的面积。解：由2sin(A+B)=0，得sin(A+B)=, ABC为锐角三角形 A+B=120, C=60, 又a、b是方程x22x+2=0的两根，a+b=2, ab=2, c2=a2+b22abcosC=(a+b)23ab=126=
11、6, c=, =2= 。9. 在ABC中，若.(1)判断ABC的形状； (2)在上述ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。解：（1）由 可得 即C90 ABC是以C为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径 内切圆半径的取值范围是10. (汕头金山中学09届高三11月考)在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积解：（）由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得联立方程组解得，（）由题意得，即，当时，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，所以的面积第2讲 解三角形应用举例 知 识 梳理 1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C =
12、 求C，由正弦定理求a、b2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东度， 北偏西度，南偏东度，南偏西度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD、OE是视线，是仰角， 是俯角.7.关于三角形面积问题=ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；absinCbcsinAacsinB；2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）；,；,( r为ABC内切圆的半径) 重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题2.难点：实际问题向数学问题转
