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1、二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式： 形如a（ a 0）的式子叫做二次根式， “”称为二次根号。 .式子中，被开方数(式)必须大于等于零。 . a （ a0）是一个非负数。 . （ a ）2 a（a 0）； a2 =a（ a0）2. 二次根式的乘： .一般的，有a b ab （a 0， b0）.反过来，有ab a b( a0 ， b0)3.二次根式的除： . 一般地，对二次根式的除法规定：a = a （ a 0， b0），b b . 反过来，a = a （ a 0， b0 ）b b4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二
2、次根式进行合并。典型例题分析：例 1.下列式子， 哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、 x（ x0）、 0 、 4 2 、- 2 、1 、 xy （x 0，xx yy? 0）例 2.当 x 是多少时，2x3 +1在实数范围内有意义？x1变式题 1：当 x 是多少时，3x1 在实数范围内有意义？变式题 2： .当 x 是多少时，2 x 3 +x2 在实数范围内有x意义？例 3. .已知 y= 2x +x2 +5，求 x 的值y.若a1 +b1 =0，求a2004+b2004 的值 .已知 x y 1 + x 3 =0，求 xy 的值例4. 计算1（ 3 ）22（3 5 ）223（ 5
3、） 24（ 7 ）262例5. 计算（ x 1） 2（ x0）2（ a2 ） 213（ a22a 1 ） 24（4x2 12x 9 ） 2变式题： 计算1.（- 3 2 ）232.(2 3 3 2)(2 3 3 2)例 6.在实数范围内分解下列因式:（ 1）x2-3（ 2） x4-4(3) 2x2-3例 7.化简（1） 9（2） ( 4)2（3） 25 （4） ( 3)2例 8.填空：当 a 0时， a2 =_ ；当 aa，则 a 可以是什么数？例 9. 当 x2，化简( x2)2 -(12x)2 例 10先化简再求值：当 a=9 时，求 a+ 1 2a a2 的值，甲乙两人的解答如下：甲的解
4、答为：原式=a+(1a)2=a+ （ 1-a ） =1；乙的解答为：原式=a+(1a)2=a+（a-1 ） =2a-1=1 7两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_变式题 1 若 1995-a + a 2000 =a，求 a- 19952 的值（提示：先由a-200 0 0，判断 1995-a? 的值是正数还是负数，去掉绝对值）变式题 2若 -3 x 2 时，试化简 x-2 + ( x 3) 2 + x2 10x 25 。例 11计算（ ） 5 7（）19（3） 9 27（ 4）1231 62分析： 直接利用a b ab （ a 0，b 0）计算即可解：（1） 57=35（2） 1 9=
5、 19 = 333（3） 927=927923=93（4） 1 6= 16 = 322例 12. 化简（1） 9 16（2） 16 81（ 3） 81 100（ 4） 9x2 y2（5） 54例 13 . 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1） ( 4)(9)49（）41225 =4 1225 =4 12 25=4 12=8 32252525变式题 1：若直角三角形两条直角边的边长分别为15 cm和12 cm， ?那么此直角三角形斜边长是（）变式题2：化简 a1的结果是（）a变式题： 1014=_ 16963变式题4：一个底面为 30cm 30cm 长方体玻璃容器中装满水， ?现将一
6、部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程（1）22 =2233验证： 22 =22 2 =222 =23(232) 23333323222)22=2( 21=22222321212121（2）33 =3388验证： 33 =32 3 =33=3323388831=3(321)33(321)3=3332132 132 18同理可得： 444415155555， 2424通过上述探究你能猜测出：aa2a=_（ a0） ,1并验证你的结论例 14计算：（1） 12（2） 31（3
7、） 11（4） 643284168例 15 化简：（ 1）3（ 2）64b2（ 3）9x（4）5x649a264 y2169 y2例 16已知的值9x9x，且 x 为偶数，求（ 1+x）x25x 4x6x6x2 1变式题 1.计算 112112的结果是（）335变式题 2.阅读下列运算过程：1333 ， 22 552 5333555数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简2 的结果是（）6变式题 3.已知 x=3，y=4，z=5，那么yzxy 的最后结果是 _变式题 4.有一种房梁的截面积是一个矩形， 且矩形的长与宽之比为 3 ： 1，?现用直径为 3 15 cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题 5.计算（ 1） nn 3（- 13n 3 （ m0，n0）n3 ）m2mmm2m（2）-33m23n23m na2（ a0）2a2（2a2）m n例 17.把它们化成最简二次根式：(1)35; (2)x2 y4x4 y2; (3)8x2 y312总结： 二次根式有如下两个特点：1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式例 18. 如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC=2.5cm，BC=6cm，求 AB的长ABC例 19. 观
