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1、雪花曲线教学设计【教学理念】立德树人，关注学生数学具有抽象性、精确性和应用的广泛性，这使数学学科在落实立德树人的过程中具有不可替代的作用所以在课堂教学的实践过程中关注每一位学生的数学学习过程，注重理性精神、科学态度的培养，促进数学学科核心素养的提升，引领学生的终身发展创设情境，激发探究结合本课时雪花曲线的特点，创设雪花曲线的动态变化图形，引导学生感受雪花曲线的无限变化，激发探究欲望逐步培育学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力对话交流，展现思维在数学课堂教学中，设计有层次的思维问题链，引导学生从特例中归纳图形变化规律，从数列中发现递推关系，根据变量设计探究方案通过课堂的交流与对话，充
2、分展现数学思维的过程，生成课堂新的教学资源，培育理性思考的习惯引经据典，渗透文化1904年科克构造的雪花曲线为学生提供有思考价值的学习素材，呈现与数列相关的数学模型的实际应用价值，展现社会发展与数学发展的联系，丰富数学教学的文化内涵运用技术，优化方式运用TI手持教育技术，丰富教学内容的表现形式，使抽象的问题直观化、静态的问题动态化，即时反馈学生的学习情况，体现TI图形计算器作为学习和评价工具的价值学生在数学学习活动中积累数学经验，并提高探究的能力【教学内容解析】雪花曲线是沪教版高二第一学期教材中第7章的一篇阅读材料雪花曲线，它融合了分形几何的基本概念，并运用数列的有关知识解决实际问题本课将借助
3、数列工具研究雪花曲线本课时的教学内容是以等比数列、极限、无穷等比数列各项的和等知识为基础，探究雪花曲线的周长与所围成的图形面积雪花曲线是突破常规思维的几何图形，学习雪花曲线，对于认识“无限长的一条曲线所围成的面积是有限的”具有重要意义；本课时也是对先前所学的等比数列、无穷等比数列各项的和公式的综合运用本课时的教学内容起着巩固数列知识、提升数学学科核心素养、增强数学应用意识、唤起对数学美的追求的重要作用；对学生在严谨的数学推理中感悟，在火热的数学思考中成长有促进作用【学情分析】教学的对象是当地一所较好的高中高二年级的学生总体上，学生的学习态度积极、端正，数学基础比较扎实与前一阶段相比，部分学生在
4、学习主动性方面略有提高，但数学学习能力依然存在差异学生已经掌握了数列的概念、等差数列、等比数列、数列的极限、无穷等比数列各项的和等有关知识，基本具备了发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力在教师的引导下，学生能够借助有关知识与方法，研究科克雪花曲线，体会数列在实际问题中的应用【教学目标】1由情境引发认知冲突，了解科克雪花曲线的形成过程，激发探究欲望2运用数列的相关知识推导雪花曲线的周长、面积公式，进一步体会递推、极限等数学思想方法，提升数学建模、数学运算素养3观察分形几何图形的特征，感受“发现美”、“欣赏美”和“创造美”【教学重点与难点】教学重点运用数列的相关知识推导雪花曲线的周长与面积
5、公式教学难点数列递推公式的建立【课程资源】高二年级第一学期数学课本、高二年级第一学期数学教学参考资料、HPM：数学史与数学教育 汪晓勤HPM：数学史与数学教育M北京：科学出版社，2017、数学教育中的数学文化 顾泠沅，张维忠数学教育中的数学文化M上海：上海教育出版社，2011【教学方法与工具】教学方法：讲授，合作讨论，探究工具：PPT演示文稿，TI图形计算器 TI图形计算器是指“TI-Nspire CX-C CAS 中文彩屏图形计算器”电脑版及手持设备，使用无线导航系统可将教师的电脑端与所有学生的TI图形计算器进行连接，从而构建起一个稳定的课堂教学环境（学校提供，学生每人一台）【教学流程】雪花
6、曲线一、情境引入二、体验新知三、探索新知五、课堂小结四、欣赏分形【教学过程】一、情境引入引例 是否存在一种封闭曲线，它的长度是无限长，但是它却可以画在一张小小的邮票上？问题1 观察雪花曲线的生成过程，你能用语言描述雪花曲线的生成过程吗？a 图形M1b 图形M2c 图形M3d 图形Mn图1 雪花曲线生成过程（1）将正三角形（图1a）的每边三等分，并以中间的那一条线段为底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图1b；（2）将图b的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图c；（3）再按上述方法无限多次继续作下去设计意图：引导学生观察雪花曲线的生成过程，感受其变化规律，理解其规则下的变化过程是无限的，
7、激发学习动机二、体验新知我们不妨设图1a中的等边三角形的边长为1，并且分别将图1a、图1b、图1c、中的图形依次记作M1、M2、M3、Mn、问题2 如何求出图形M1、M2、M3的周长和面积？周长等于边长乘以边数面积等于原有图形的面积加上所有新增小三角形的面积追问 你能完成表1吗？表1 图形的M1、M2、M3周长和面积边数Pn边长Tn周长Cn新增加的小三角形个数Qn新增加的每个小三角形的面积Rn曲线所围成的面积An图形M1图形M2图形M3学生使用TI图形计算器作答（如图2）a 填表Pn、Tn、Cnb 填表Qn、Rn、An图2 图形M1、M2、M3的周长和面积图3 教师使用电脑端了解问题2的反馈数
8、据设计意图：引导学生完成三个特例，从数据归纳数列的等比关系，理解前后两个图形的变化规律，体会递推关系，为下一步推导通项公式做好准备技术支持：使用TI手持教育技术辅助课堂教学教师从电脑端上将练习通过无线导航系统传输到学生TI图形计算器上学生的解答情况可以在电脑端上即时反馈教师可以根据即时反馈的数据（如图3）了解所有学生解决问题的过程，给出有针对性的指导，实现课堂内的精准诊断三、探索新知问题3-1 在求解过程中，我们需要知道哪些量？请以小组为单位，讨论研究方案学生活动 讨论研究方案（1）周长 研究前后图形边数的关系； 研究前后图形边长的关系； 得出周长的通项公式； 研究雪花曲线的周长（2）面积 研
9、究新增三角形的个数； 研究每个新增三角形的面积； 研究前后图形的面积关系； 得出面积的通项公式； 研究雪花曲线所围成的图形面积问题3-2 你能写出各个变量的递推关系，并分别写出一个通项公式吗？根据前3个特例我们不难发现：（1）记图形Mn的边数为Pn，因为每个图形中的一条线段在后一个图形中变成四条线段，所以数列Pn的递推公式为：其通项公式为：（2）记图形Mn的边长为Tn，因为图形中的每条线段长度在后一个图形中变为原来的，所以Tn的递推公式为：其通项公式为：（3）记图形Mn的周长为Cn，周长：（4）记图形Mn在图形Mn-1的基础上新增加了Qn个小三角形，因为增加的小三角形的个数与原图形边数一样，所
10、以其通项公式为（5）记图形Mn在图形Mn-1的基础上增加的每个小三角形的面积为Rn，因为增加的小三角形的边长等于图形Mn的边长Tn，所以其通项公式为（6）记图形Mn的面积为An，由，所以（7）由周长Cn和面积An的通项公式可知： 当n无限增大时，Cn也随之无限增大； 当n无限增大时，即：雪花曲线是一条周长无限长而所围面积是有限的曲线设计意图：引导学生从特殊到一般，根据雪花曲线的生成过程发现数列的等比关系，将原问题转化为等比数列问题，进而运用数列知识探究雪花曲线的周长与面积的极限值四、欣赏分形（一）分形几何的自相似结构问题4-1 如图4，取雪花曲线的一部分放大，在这部分中再取一部分放大，依此类推
11、，你能观察到什么？图4 雪花曲线变化情况它的每一部分放大的图形与原来的图形一样问题4-2 雪花曲线是分形几何的一个特殊图案，通过雪花曲线你能感受到分形几何的特征吗？（1）无限；（2）一定规则；（3）自相似性设计意图：学生可以感受分形几何的代表图案雪花曲线的特征，进一步体会和感悟分形几何的意义（二）欣赏分形几何图案问题5 你能找到下列图片中的自相似的局部与整体吗？（1）谢尔宾斯基三角形（如图5）图5 谢尔宾斯基三角形生成过程1915年，波兰数学家谢尔宾斯基制造出三件绝妙的“艺术品”谢尔宾斯基衬垫、地毯、海绵学生使用TI图形计算器画出图片中自相似的局部与整体（如图6）图6 学生使用TI图形计算器进
12、行圈划图7 教师使用电脑端了解问题5的反馈数据（2）美术作品（如图8）图8 分形几何模型上绘制的艺术作品在艺术领域公认有两次最大的创新，一次是文艺复兴，另一次是本世纪初兴起的现代艺术两次大的变革都与几何学的变革有关前者与三维透视几何有关，后者与非欧几何即分形几何有关学生使用TI图形计算器画出图片中自相似的局部与整体（如图9）图9 学生使用TI图形计算器进行圈划图10 教师使用电脑端了解问题5的反馈数据设计意图：引导学生从数学角度欣赏谢尔宾斯基三角形与分形几何艺术图案，了解数学与艺术之间的关系技术支持：使用TI手持教育技术辅助课堂教学教师从电脑端上将图片通过无线导航系统传输到学生TI图形计算器上
13、学生的圈划情况可以在电脑端上即时反馈教师可以根据即时反馈的数据（如图7、图10）了解所有学生解决问题的过程，给出有针对性的指导，实现课堂内的精准诊断（三）感受大自然中的分形几何问题6 如图11，你能想象它源于哪里吗？a 红色滤镜b 黄色滤镜c 绿色滤镜图11 不同着色的分形几何图案红色的图形让人联想到人体的血管（如图12a）；黄色的图形让人联想到大地的褶皱以及褶皱上的河流（如图12b）；绿色的图形让人联想到大树、藤蔓、叶脉（如图12c）等a 人体血管b 大地褶皱c 植物叶脉图12 大自然中的分形几何这种结构的生成实际上是生物演化的结果，是一种发展的结果如果把我们人体的结构放大一点看，就是河流的
14、结构这样一类的结构，为什么能够存在？它实际上包含了一种淘汰，一种演化设计意图：通过展示分形几何图案，了解数学与自然之间的密切联系，进而引导学生展开联想，发现身边的数学美五、课堂小结在本课中，我们不仅运用数列知识研究雪花曲线，还从数学的角度欣赏了分形几何的图案，感受到数学与艺术、生活之间的关系最后使用知识结构图（如图13）回顾已学的知识脉络图13 大自然中的分形几何【教学评价】课堂教学评价表表2 课堂教学评价表评价活动评价目标学生表现评价方法引例检测目标1初步认识雪花曲线课堂提问课堂观察问题1检测目标1能描述科克雪花曲线的形成方式课堂提问课堂观察问题2检测目标2能根据科克雪花曲线的形成方式找出变化的量课堂提问课堂观察问题3-1检测目标2能求出三个特例的周长与面积课堂提问课堂观察问题3-2检测目标2能找出数列的递推关系，分别写出一个通项公式，求出周长和面积的通项公式以及面积的极限值课堂提问课堂观察问题4检测目标3能通过科克雪花曲线归纳分形几何的特征课堂提问问题5检测目标3能找出分形几何图案中自相似的
