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1、理工类说明：(1)只对数学一要求的在左上角加“”.(2)记号 08120 表示 -08 年数学一第 20 题.(3)例题中“ Ai 、Bi、 Ci ”分别表示“基本题、综合题、应用题”无穷级数 ( 数学一 ) 考试要求 1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2.掌握几何级数与p-级数的收敛与发散的条件。3.掌握正项级数的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法。5.了解任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7.理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级
2、数收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项积分和逐项微分），会求一些幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10.掌握 ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)m 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 l , l ,上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 0, l 上的函数展开为正弦级数，余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。（只对数一要求）- 内容分为三大部分 数项级数；幂级数；傅
3、立叶级数。 考题常出类型 A.基本题 B.综合题 本章特点 概念性强，分析、推理多，运算量不算大。 内容提要 一、数项级数形如un u1 u2unn 1 主要问题 一是审敛问题；二是求和问题。1.数项级数敛散定义：n设数项级数un 的部分和为 Snuku1u2unn 1k 1若 lim SnS 存在，则称级数un 收敛 ,un=S；若 lim Sn 不存在，则称un 发散。nn 1n 1nn 1注：用定义审敛的优点是审敛的同时可得收敛和，一般用于几何级数或两差项的级数。 (un un 1) 收敛lim un 存在。n 1n-2.级数的性质：(1)级数un 与Cun ( C0 )敛散性相同；n
4、1n 1(2)设两级数un 和vn 则有下列结论：n 1n 1两收和必收；一收一散和必散；两散和不定( 但( unvn ) 必发散 ) 。n 1(3) 收敛级数任意添加括号后仍收敛。但逆命题不一定成立(即添加括号后收敛的级数原级数不一定收敛)。(4) 若级数un 收敛，则 lim un 0 。级数收敛的必要条件n1n作用 :可用来判别发散：若 lim un 0,则un发散；nn 1可用来求极限为零的极限 :nn 2 收敛，则 limnn 20 。n1 (n!)n(n!)(5)若级数un2 和 vn2都收敛，则级数unvn ,(un vn ) 2 ，un也都收敛。n 1n 1n 1n 1n 1
5、n注：增加减少或改变级数的有限项不影响其敛散性。 若un 收敛，则un 1 也收敛。n 1n 1 例题分析 A 1:00102 设级数un 收敛，则必收敛的级数为()。n 1(A)( 1) n un ; (B)un2 ; (C)(u2n 1u2n ) ;(D)(unun 1) 。n 1nn 1n 1n 1-A 2:0610906309 若级数an 收敛，则级数 ()必收敛。n 1(A)an ；(B)( 1)n an ；(C)anan 1 ；(D)n 1n 1n 12an an 1 。n 1-A 3： 04310 设有以下命题： 若(u2n1 u2 n ) 收敛，则un 收敛；n1n 1 若un
6、 收敛，则un 100 收敛；n1n 1 若 lim un11, 则un 发散；nunn1若(unvn ) 收敛 ,则un 和vn 都收敛。n 1n 1n 1则以上命题中正确的是 () 。(A) ; (B) ; (C) ; (D) 。3.级数的审敛法(1)正项级数an( an 0)n 1an 1当1时，收敛I.比值 (根值 )审敛法： 若 lim(或 limn an)，则级数an 当1时，发散nannn 1当1时，不定注:若 an 11 ( an0 ),则an 必发散。此时不必取极限。ann1-II. 比较审敛法 :设正项级数an 和bn ,且 anbn (当 n N 时 )，则n 1n 1若
7、bn 收敛，则an 也收敛。 (大收则小收 ) 若an 发散，则bn 也发散。 (小散则大散 )n 1n 1n 1n 1-极限形式 : 若 lim anl 0 ,则n bn当 l0且 l时，级数an 与bn 同敛散。n 1n 1当 l0时，级数bn 收敛 ,则an 也收敛 ;n1n 1当 l时，级数bn 发散，则an 也发散。n 1n 1当 l1时，即 anbn ，则级数an 与bn 同敛散。n 1n 1-说明： 常取 bn12来判别an收敛；取 bn1 来判别an 发散。nn 1nn 1 lim n2anl 是级数an 收敛的充分而非必要的条件。nn 1 两个正项级数，an 收敛，且 lim bn = k 存在，则级数anbn 收敛。n1nn1-几个常用级数的敛散性：几何级数aq n ( a0 )：当 | q |1时，发散；当 | q |1 时，收敛。n 1p-级数11：当 p 1时，收敛；当 p1时发散。p 、nlnpn 1 nn 2n特别地，调和级数111发散。 ( p1)13n2注：若正项级数an 收敛，则a2n 与a2n 1 均收敛。n 1n 1n 1(2)交错级数
