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1、第五章： 对称性及守恒定律第五章：对称性及守恒定律证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：（是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量 不显含，有（）将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量的平均值，则有：（）此式遍乘即得待证式。证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含的物理量对时间的导数的平均值等于零。（证明）设是个不含的物理量，是能量的公立的本征态之一，求在态中的平均值，有：将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本5.1）（）今代表的本征态，故满足本征方程式（为本征值）（）又因为是厄密算符，按定义有下式（需要是束缚态，这样下述积公存在）（）（题中说
2、力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（）（）代入（）得：因，而设粒子的哈密顿量为。（） 证明。（） 证明：对于定态（证明）（），运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：（）分动量算符仅与一个座标有关，例如，而不同座标的算符相对易，因此（）式可简化成：（）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下： （）（）将（）（）代入（），得：代入（），证得题给公式：（）（）在定态之下求不显含时间的力学量的平均值，按前述习题的结论，其结果是零，令则（）但动能平均值由前式设粒子的势场是的次齐次式证明维里定理（irial theorem）式中是势能，是动能，并应用于特例：（）谐振子（）库仑场（）（
3、解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标的次齐次式，则不论是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：（）此处的暂设是正或负的整数，它们满足：（定数）是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。根据前一题的结论：（）现在试行计算本题条件下的式子及其定态下平均值。这个关系在数学分析中称Euler的齐次式定理。再利用（）即得：（）本证明的条件只要不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。现将其直接用于几种特例，并另用（）式加以验证。（）谐振子：直接看出，根据（）式知道，即也可以根据前一题的结论，即（）式直接来验证前一结论，
4、由（）式可知（）库仑场直接看出是的次齐次式，按（）式有： 但这个结论也能用（）式验证，为此也利用前一题结论（）有： 代入（）式，亦得到（）场直接看出是的次齐次式，故由（）式得：仍根据（）式来验证：由（）得 ，结果相同。本小题对于为正、负都相适，但对库仑场的奇点除外。证明，对于一维波包：（解）一维波包的态中，势能不存在故（自由波包）依据力学量平均值时间导数公式：（）但（）因（）代入（）式，得到待证的一式。求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符应满足：（）又对于自由粒子，有（不随时间变化）令为海氏表象座标算符；代
5、入（）（）但 （）代入（），得：积分得将初始条件时，代入得，因而得到一维座标的海氏表象是：求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。（解）用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是：（）解法同于前题，有关坐标的运动方程式是：（）将等式右方化简，用前一题的化简方法：（）但这个结果却不能直接积分（与前题不同，与有关），为此需另行建立动量算符的运动方程式：化简右方 = = 将对时间求一阶导数,并与式结合,得算符的微分方程式:这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率，它的解是： ，待定算符，将它求导，并利用： 将t=0代入：x(0)=A P（0）=B，最后得解： 在初时刻t=0，海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算
6、符的形式是相同的，因为前式中：c.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:1.1.p.47-48 Addison-Wesley8 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：证明：总动量为守恒。证明：待证一试是矢量算符，可以证明其x分量的守恒关系，即为足够按力学量守恒条件这要求： =+ 最后一式的第一个对易式中，因为： ， ，故整个 至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式 =又式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和，由于不同座标的座标算符和动量算符永远能够对易，式又能简化成： =再运用对易式（第四章11题） 代入上式得： =满足式，故式得征。9 多粒子系
7、如所受外力矩为0，则总动量为守恒。证明与前题类似，对粒子系，外力产生外力势能和外力矩，内力则产生内力势能，但因为内力成对产生，所以含内力矩为0，因此若合外力矩为零，则总能量中只含内势能： 要考察合力矩是否守恒，可以计算的分量看其是否等于零。 最后一式中，因为 因而可以化简： 用对易关系： 最后一式第一求和式用了等，第二求和式用了：见课本上册P111，最后的结果可用势能梯度内力表示，因内力合矩为零，故有 同理可证 因此是个守恒量。.10证明：对经典力学体系，若A，B为守恒量，则A，B即泊松括号也为守恒量，但不一定是新的守恒量，对于量子体系若，是守恒量，则也是守恒量，但不一定是新的守恒量。 证明先
8、证第一总分，设qi 为广义坐标，pi为广义动量，A qi ，pi和B qi ，pi 是任意力学量, i=1,2,3,.为坐标或动量编号，s自由度，则经典Poisson括号是：（前半题证明c.f.Goldstein：Clessical Mechanlcs）在经典力学中，力学量A 随时间守恒的条件是 或写作：将哈密顿正则方程式组： 代入前一式得 因此，若力学量A，B不显示含时间t,则这两涵数随时间守恒的条件是： 假定以上两条件都适合，我们来考察A，B是否也是守恒的？为此只需要考察下式能否成立：为了考察前一式，可令：将此式用泊松括号的定义展开得：仔细地展开前一式的各项，将发现全部有关H的二阶导数都抵
9、消，只留下H的一阶导数的项，化简形式如下： 式中F，G都含A和B的导数，为了确定这两个待定系数，可令H等于特殊函数(这不失普遍性，F与H无关)，代入式后有前式中的值可在中，作替代A-B，B-得到，求法类似。再在式中，令H=，得：I=F（A，B）因而得： 同理令H=得：将所得的F和G代入，并将这结果再和等同起来，得到：A，B，H-B，A，H这个式子说明：如果（2），（3）满足，（4）式就成立即A,B守恒。在量子力学体系情形，守恒的条件是 再考察 将此式加减后得到：若，是守恒量，前一式等号右方，左方所以也是守恒量，所以量子体系的情形也有类似的结论。在量子体系情形，若是守恒量，则有共同本征态，在此态中测得的值为确定值A0和B0（初始时刻的值），的值为0。11粒子系处在下列外场中，指出哪些力学量（动量，能量，角动量，宇称， 是守恒量。自由粒子无限的均匀柱对称场无限均匀平面场中心力场均匀交变场椭球场解要判断哪些力学量守恒,需要将力学量 宇称量等表示成适宜的形式,再考察等是否是零,但是该力学量,若该交换式是零就说明是个守恒量,下面各种场的分析中, 的分量或其平方, 等逐个立式考虑,自由粒子 a 同理
