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1、第一章 证明（二）回顾与思考创意开场白方式1我们在证明（一）的基础上，已经完成了证明（二）的内容学习，请大家思考：同是证明，证明（二）重在对哪些图形进行探讨？证法有何新突破？带着这些问题，我们有必要进行简单的回顾。（教师出示课时课题、课时目标） 方式2俗话说“梳理，是一种好的学习习惯”。现在我们已经学完了证明（二）相关内容，下面看那位同学梳理得更完整，更科学？（教师出示课时课题、课时目标） 1 进一步体会证明之必要性。2 会用综合法、反证法证题（重点）。3 熟练掌握与等腰三角形和直角三角形相关的性质与判定定理，并会灵活应用；会写命题逆命题、能识别真假；会尺规作图。4 在证明中，仔细体会归纳、类
2、比、转化等数学思想方法。1.关上课本，仔细想想本章学习了哪些内容？2.翻阅课本，看有没有遗漏的内容？证明（二）通过探索、猜测、计算和证明得定理命题逆命题及其真假尺规作图与等腰、等边三角形有关结论与直角三角形有关结论与一般三角形有关结论3.结合讨论，完成下列框架图： 过渡语：在全面梳理基础上，让我们一起来关注几个核心内容。ABDCEF例1 ： 如图所示，已知：ABC中，BA=BC，ABC=450，AD是BC边上的高，F是AD上一点，FD=CD，连接FC。求证EA=EC。分析: 要证EA=EC,可证明BF是线段AC的中垂线，又因为BA=BC,只要证明BFAC即可。证明 ADBC,ABD=450BA
3、D=450 AD=BD。又 CD=DF,ADC=BDF=900,RtADCRtBDF, DAC=DBE，又AFE=BFD，AEF=BDE=900。即BFAC。又BA=BC，BF垂直平分AC。EA=EC。规律总结： 证明线段相等的思路很多，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是一种方法；此外还可以利用全等三角形的对应边相等，等腰三角形的判定，角平分线上一点到角两边距离相等、等量代换法给予证明。证角相等的思路类似上叙述。【跟踪训练】1. 已知如图，RtABCRtADE，,与相交于点，连接（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：【答案】（1）ADCABE, CDFEBF, （2
4、）。 , 即 又又CDFEBF,2. 如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CD=CE(1)求证：ACDBCE；(2)若D=50，求B的度数B=700ABCD例2: 如图所示，四边形ABCD中，B=900，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13,求四边形ABCD的面积。分析: 这是一个不规则的四边形，可连接AC变化成两个三角形，求出这两个三角形的面积，其中ABC是直角三角形，由勾股定理求出AC的长，在ACD中，由勾股定理的逆定理可判断ACD是一个直角三角形。解 :连接AC。B=900,AB=3，BC=4，AC2=AB2+BC2=9+16=25（勾股定理）。AC2+CD2
5、=52+122=169，AD2=132=169，AC2+CD2=AD2，ACD=900（勾股定理的逆定理）。S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36。规律总结：1.在已知三角形三条边长的情况下，用勾股定理的逆定理可以判断这个三角形是不是直角三角形。2.在一个不规则的四边形中，已知四边形长度求面积，常将四边形变成两个三角形，用勾股定理及其逆定理，进而求两个直角三角形的面积。【跟踪训练】3.已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，第三边的长为5或。4. 如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BDAC，点B，A，E在同一条直线上. (1) 求证：ABDCAE；(2) 如果
6、AC =BD，AD =BD，设BD = a，求BC的长. 解答：(1) BDAC，点B，A，E在同一条直线上， DBA = CAE,又, ABDCAE. (2) AB = 3AC = 3BD，AD =2BD ，(第22题) AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， D =90, 由（1）得 E =D = 90, AE=BD , EC =AD = BD , AB = 3BD ，在RtBCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2 = (3BD +BD )2 + (BD)2 = BD2 = 12a2 , BC =a . A M N O B例3： 如图已知AO
7、B内有两点，M,N.求作一点P，使点P在AOB两边距离相等，且到点M,N的距离也相等。分析：所作的点P必在AOB的平分线上，又在MN的中垂线上，它是两线的交点解答：分别作AOB的平分线，MN的中垂线,，其交点即为P.规律总结：尺规作图可帮我们简洁画图，且画出的图形准确美观，我们要明确尺规作图的依据。5.已知ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：(1)作ABC的平分线BD交AC于点D；(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F由、可得：线段EF与线段BD的关系为 解答：、题作图如下：由作图可知线段EF与线段BD的关系为：互相垂直平分E
8、DCBAG6.如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出ABC的平分线BF，交AC于点F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）然后证明当：ADBC，AD=BC，ABC=2ADG时，DE=BF.解：（1）以B为圆心、适当长为半径画弧，交AB、BC于M、N两点，分别以M、N为圆心、大于MN长为半径画弧，两弧相交于点P，过B、P作射线BF交AC于F（2）证明：ADBC，DAC=C，又BF平分ABC，且ABC=2ADG，D=BFC，又AD=BC，ADECBF，DE=BF.ABDEFC例4. 如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF 能否由上面的已知条件证明A
9、BED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使ABED成立，并给出证明供选择的三个条件（请从其中选择一个）：AB=ED；BC=EF；ACB=DFE分析：要证ABED，必须证得ABC=DEF，而从FB=CE，AC=DF条件中不能得到ABC=DEF解答：由上面两条件不能证明AB/ED.有两种添加方法.第一种：FB=CE，AC=DF添加 AB=ED证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又AC=EF，AB=ED，所以ABCDEF所以ABC=DEF 所以AB/ED第二种：FB=CE，AC=DF添加 ACB=DFE证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又A
10、CB=DFE AC=EF，所以ABCDEF所以ABC=DEF 所以AB/ED规律总结：命题有真有假，对命题的证明常见有两种证法：综合法和反证法。当结论很明显，而又不好说理时，我们常常采用反证法。7. 已知下列命题：若，则； 若，则；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；平行四边形的对角线互相平分其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ B ）A1个 B2个 C3个 D4个8.证明三角形中至少有一个角不小于600证明：假设三角形三个内角均小于600那么三内角之和必小于1800这与“三角形内角和定理”相矛盾，故假设不成立，原结论成立。即三角形中至少有一个角不小于600例5. 如图1，若ABC，ADE
11、为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点。 （1）当把ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；图1 图2 图3图8 （2）当ADE绕A点旋转到图3的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由分析：证CD=BE是否成立，主要看它所在的两个三角形是否全等，AMN是否还是等边三角形，主要看能否符合等边三角形判定定理。C解：（1）CD=BE理由如下:N ABC和ADE为等边三角形 DAB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60o BAE =BACEAC =60oEAC，EMDAC =DAEEAC =60oEAC， BABAE=D
12、AC， ABE ACD图2 CD=BE 图3CNDABME（2）AMN是等边三角形理由如下： ABE ACD， ABE=ACD M、N分别是BE、CD的中点， BM= AB=AC，ABE=ACD， ABM ACN AM=AN MAB=NAC NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60o AMN是等边三角形规律总结：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，等边三角形的判定可据三内角相等或三边相等或有一个角为600的等腰三角形来证明。几何图形在旋转等变化过程中，弄清楚哪些量发生变化 ，哪些量不变是解题的关键。 9. 如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线， 则图中的等腰三角形有( A) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个10. 等腰三角形的一个内角等于40，则它两个底角的平分线所夹的钝角是（ D）A 110 B. 140 C.100或120 D .110或1401.（15分） 如图，ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A=30，ACB=80，则BCE=502.（15分）如图，一块三角形玻璃破碎成三块。现需划一块同样大小的三角形玻璃，为了方便起见，只须带第_块3.（15分） 如图，ABC内有
